数学の参考書、本質の研究の記述に間違いはありますか

質問

本質の研究I・A P.31 因数分解のセクションにおいて、「どんな整数も必ず素因数分解ができる」という記述がありました。
しかし、整数には負数が含まれ、素数の定義は1と自分自身以外に約数を持たない1以外の自然数の筈なので、負数を自然数のみで表すことは不可能と考えました。
この場合上記の記述は間違いで、「どんな自然数でも必ず素因数分解ができる」が、著者が本来書きたかった内容ではないでしょうか？

他にも、この参考書に誤った記述がある部分があれば教えてください。

回答No.2

kabaokaba · ベストアンサー

>この場合上記の記述は間違いで、「どんな自然数でも必ず素因数分解ができる」が、著者が本来書きたかった内容ではないでしょうか？

数学的には著者が正しいといえるでしょう．
ただし「0と1と(-1)を除く整数は必ず素因数分解できる」という意味です．

実は数学的には素因数分解は決して「素因数の積だけ」で表すものではありません．
数学には「単元」とか「可逆元」とか呼ばれる概念があります．
整数の場合は「単元」というのは1と-1になります

そして，整数の素因数分解とは
「素数のべき」および「単元」の積に分解すること
を意味します．
そして「素因数分解の一意性」は「単元の積を除いて一意」という意味です
例えば

10 = 2 x 5 = 1^2 x 2 x 5 = (-1)^4 x 1^5 x 2 x 5

とかできますがが，1と(-1)の積を見なければ2x5で一意です．
負の数の場合も同様です

こんなの素因数分解じゃないといわれるかもしれませんが
同様なことは多項式の素因数分解でよくみかけます

x^2-2x+1 = (x-1)^2 = (2x-2)^2 * 1/4

とかのように「係数のくくり方」で分解の見た目は変わりますよね
実数係数の多項式を考える場合「単元」ってのは実数そのものであり
多項式の素因数分解は実数の積を除いて一意だということで
整数の場合となんら違いはありません．

お礼

整数の素因数分解とは「素数のべき」および「単元」の積に分解することを意味する。
これがミソのようですね。
興味深いお話でした。
回答ありがとうございます。

回答No.3

noname#165208

> 素数の定義は1と自分自身以外に約数を持たない1以外の自然数

自然数で代表してるってだけのことじゃないかな？

±１と±自分自身以外に約数を持たない±１以外の整数が素数じゃないかな？
－２ も素数なのですよ。でも ＋２ と本質的に変わらないので、普通 ＋２ のほうだけを
素数として取り上げてるわけ。

> 「どんな整数も必ず素因数分解ができる」

0 をどうやって素因数分解するのだろう？これは著者に訊きたいね。
ま、これは大雑把に言ってるだけのことのような気がする。
正しくは「０を除くどんな整数も必ず素因数分解ができる」かな？

お礼

うーん、自分の知っている素数の定義と違って多少混乱しています。
高校レベルを超えた数学を扱うときは、その都度定義の仕方が変わるということでひとまず理解しておきます。
回答ありがとうございました。

回答No.1

noname#163471

その本をもってないから知りませんけど、質問者さんが書いたとおりなら間違いなのでしょう。
気になるなら著者に直接問い合わせましょう。
出版社のホームページから問い合わせれば、大概著者と連絡とってくれます。
自分の場合、１００%返信もらいましたし、素直に間違いは間違いと認めてくれましたよ。

そもそも間違いがひとつもない本なんて気持ち悪い。

お礼

あまり本を読まないので知りませんでしたが、間違いはごくごく一般的なものなのですね。
心得ておきます。
回答ありがとうございます。