完全数について

質問

自分自身を除いた約数の和が、自分自身に等しいものを完全数といいます。　例えば６の約数は、１，２，３，６で、６を除いた１，２，３の和は６ゆえ完全数です。　では、奇数の完全数は存在するのでしょうか？　また、完全数は無限にあるのでしょうか？　有限とすればいくつ有るのでしょうか？　教えてください。

回答No.1

info22 · ベストアンサー

偶数の完全数については
nが自然数で{2^(n+1)}-1が素数のとき
(2^n)(2^(n+1)-1)…(1) は完全数である。
ということが証明されています。
p=n+1とおくと
完全数は {2^(p-1)}{(2^p)-1}となります。
p=2,3,5,7,13,…,30402457,32582657,…に対して
完全数が
6,28,496,8128,33550336,…
と出てきます。非常に大きな完全数になりますのでスーパーコンピューターを使って相当大きな完全数まで計算されていますね。上限は計算機の能力しだいですね。

一方、奇数の完全数が満たすべき条件は明らかになっていますが、あるとすれば300桁よりも大きい完全数ということがわかっています。
でもまだ見つかっていません。
詳細は参考URLでご覧あれ。

参考URL：

http://www3.alpha-net.ne.jp/users/fermat/yogo.html

お礼

詳細な回答たいへん有難うございました。