微分の問題で行き詰まってます。

質問

数学に関して質問があります。f(x)の導関数f'(x)を計算機ではなく、リミットの定義を用いて手計算で求める問題を解いているのですが、どう解いてよいのか分からず、一問目から躓いています。
その一問目が f(x)=(√(x^2+5))/(x-9) なのですが、ルートを消そうと√(x^2+5)/√(x^2+5)をかけてもf(x)=lim x->0 (x^2+5)/((x-9)・√(x^2+5))になるだけで、単にややこしくなった気がします。√(x^2+5)を(x^2+5)^1/2とみなすことも出来ますよね…でもそれがどう役立つのか…。どうかヒントだけでも教えてください。よろしくお願いします。

回答No.3

chukanshi · ベストアンサー

まず、問題の題意を正しく理解しましょう。

1) By hand and using algebra, use the limit definition for the derivative to find f'(x) for f(x)=(√(x^2+5))/(x-9)

これを、意訳すると、
「手計算で代数的方法を用いて、導関数の極限による定義に立ちかえって、f(x)の導関数f'(x)を求めよ。」
でありますから、f'(x)を求めるのです。f'(x)は「関数」であり、数値ではありません。だから、-5/9という「数値」が答えにはなりません。

これを踏まえて。。。。
f'(x)は微分の公式を使えば、
f'(x)=x/(√(x^2+5))/(x-9) -(√(x^2+5))/(x-9)^2
と求まってしまいます。
（No.1starfloraさんの記事参照。）

以下面倒なので、a=(√(x^2+5)),b=(x-9)と置きます。
f'(x)=x/(ab) -a/b^2　（式１）

しかし、こうせずに、導関数の極限に定義に戻って（式１）を導けとこの問題は要求しているのです。導関数の極限による定義は、Umadaさんのおっしゃるとおり通り、Umadaさんの記事の（１）です。
で、どう計算するかというと、f(x+h)をhについて展開すると、hの０次＝f(x)、hの１次＝f'(x)h、hの２次＝f''(x)h^2、と求まるわけですが、こうして求めても、導関数の定義の式より、hの２次以降はlim(h→0)でゼロになって消えてしまいます。だから、結局、f(x+h)をhについて１次まで展開するればよく、そうするとf'(x)、すなわち導関数が求まるのです。では実際にやってみましょう。
f(x+h)
=√((x+h)^2+5))/(x+h-9)
～√(x^2+2hx+5)/(x+h-9)（hの２次無視）
=f(x)*((1+2hx/(x^2+5))^(1/2))*((1+h/(x-9))^(-1))
（無理やりf(x)でくくる）
～f(x)*((1+hx/(x^2+5))*((1-h/(x-9))
（やはり各項展開して、hの１次まで残す）
～f(x)(1+hx/(x^2+5)-h/(x-9))（hの２次無視）
=f(x)+(f(x)x/(x^2+5)-f(x)/(x-9))h
=f(x)+f'(x)h
ただし、
f'(x)=x/(ab) -a/b^2　
よって導関数の極限による定義の式（１）に代入すると、
f'(x)=x/(ab) -a/b^2　
と導関数が求まる。
以上。おわり。

とうことを答えればよいのです。

（注）
(1+h)^dは、1+dh+(hの２次以上）と展開できることは知っていますよね。っていうか、これがここでいっている代数的方法（algebra)です。

お礼

ご回答、ありがとうございます。
返事が遅れてしまってすみませんでした。
ようやく期末が終わりました。
TI89には微分をしてくれる機能があります。d/dx((√(x^2+5))/(x-9),x)とやるだけです
その結果はchukanshiさんの導き出した答えと全く同じになりました。
→ [x/((x-9)・(x^2+5))]-[(x^2+5)/((x-9)^2)]
つまり、x/(ab) -a/b^2です。
(前回は"solve(d/dx((√(x^2+5))/(x-9),x)=0,x)"とスキップしてしまったのですね)。

今回、実はhの２次無視が許されてなくて、とてつもなく長い式になりました。解くのに7時間かかりました(本当に)。

これからはもっと真面目に数学を勉強しようと思います。ありがとうございました。

回答No.4

Umada

問題文は「手計算と代数(ここでは数値解法に対する文字式の意でしょう)を使って、極限を用いた導関数の定義から f(x)=(√(x^2+5))/(x-9) の導関数を求めよ。」の意に解釈できます。

答えが-5/9と出たとのことですがそれはなんだか変ですね。導関数が-5/9なら原始関数は-(5/9)x+C (Cは定数)になるはずですが??　(何か具体的に導関数を求めた後で、xに何か数字を代入したというのなら話は別です)

まず答えを先回りして求めてしまいます。
　√(x^2+5)＝(x^2+5)^(1/2)　　　(1)
で正しいです。この関数と
　1/(x-9)　　　(2)
の積の導関数を求めればよい訳です。
二つの関数f(x), g(x)の積fgの導関数はご存じのように
　(fg)'＝f'g+fg'　　　(3)
ですから、定義に従えば
　[(1/2)×2x×(x^2+5)^(-1/2)]×[1/(x-9)]+(x^2+5)^(1/2)×(-1)×(x-9)^(-2)　　　(4)
です。整理すれば
　-(9x+5)/[√(x^2+5)×(x-9)^2]　　　(5)
です。(x=0を代入しても-5/9にはならないですね)

さて前回の私の回答(導関数の定義式に戻った計算)を最後までちゃんとやると
f(x+h)-f(x)
　(x-9)^2×((x+h)^2+5))-(x+h-9)^2×(x^2+5)　　　　　　　　　　　(6)
＝---------------------------------------------
　[(x-9)√((x+h)^2+5))+(x+h-9)√(x^2+5)]×(x-9)(x+h-9)

　2h(x-9)[x(x-9)-(x^2+5)]+ゴミ　　　　　　　　　　　　　　　(7)
＝---------------------------------------------
　[(x-9)√((x+h)^2+5))+(x+h-9)√(x^2+5)]×(x-9)(x+h-9)

*ゴミ・・・hの2次以上の項。あとで極限をとる時にどうせ消えるので「ゴミ」としてまとめた。

(7)式をhで割って、h→0の極限を取れば
　2(x-9)[x(x-9)-(x^2+5)]
＝-------------------------
　2[(x-9)√(x^2+5)]×(x-9)^2

　(-9x-5)　　　　　　　　(8)
＝-----------------
　√(x^2+5)×(x-9)^2
となって、最初に覗き見しておいた答えと同じになります。でもこの式はどこをどういじくっても-5/9にはならないんですよね。
-5/9が現れるとすれば可能性があるのは「f'(x)=0となるxの値を求めよ」という問題を解いた場合です。これはすぐにx=-5/9と分かります。ひょっとして計算機にその問題を解かせてしまっていませんか?

あと、訂正です。すみません。前回の回答の下から4行目、
[(x-9)√((x+h)^2+5))+(x+h-9)√(x^2+5)]/(x-9)(x+h-9)
は
[(x-9)√((x+h)^2+5))+(x+h-9)√(x^2+5)]×(x-9)(x+h-9)
が正しいです。

また式(6)も
(x-9)^2×((x+h)^2+5))-(x+h-9)^2×(x^2+5)　
が正しいものです。失礼しました。

お礼

ご回答、ありがとうございます。
返事が遅れてしまってすみませんでした。

> -5/9が現れるとすれば可能性があるのは「f'(x)=0となるxの値を求めよ」という問題を解いた場合です。

誠に仰る通りです。お恥ずかしい…。
困った時の計算機頼みをしたのですが、頼み方がまずかったようです(^^ゞ。
教授が答えを公開していないので僕はまだ本当の答えを知りません。
三人の生徒に尋ねたところ、二人の生徒がUmadaさんと全く同じ答えを導き出していました。
迷いましたが結局、starfloraさん、Umadaさん、chukanshiさん全員の回答を参照にして解きました。
僕が予想していたよりも遥かに難しい問題でした。
自分自分で解けるようにもっと数学を勉強しようと思います。
ありがとうございました。

回答No.2

Umada

lim f(x)
x→0
を計算しておいでの部分があるのですが、これは導関数ではなくて単に関数の極限です。

導関数の定義は言うまでもなく
lim {f(x+h)-f(x)}/h　　　(1)
h→0
ですよね。(私が問題を勘違いして理解していたらごめんなさい)

さてそこで
f(x+h)-f(x)　　　(2)
を作ると
[√((x+h)^2+5))/(x+h-9)]-[√(x^2+5)/(x-9)]　　　(3)
となります。
通分して
[(x-9)√((x+h)^2+5))-(x+h-9)√(x^2+5)]/(x-9)(x+h-9)　　　(4)
を得ます。これを有理化するためには、
(x-9)√((x+h)^2+5))+(x+h-9)√(x^2+5)　　　(5)
を分子分母にかけます。(4)の分子だけ書くと
(x-9)^2×((x+h)^2+5))+(x+h-9)^2×(x^2+5)　　　(6)
となって、これで根号が外せたことになります。

分母
[(x-9)√((x+h)^2+5))+(x+h-9)√(x^2+5)]/(x-9)(x+h-9)
はh→0でも0になりませんから、簡単に極限が求められます。

あとは整理して(1)に立ち返るだけですからご自身で解けることと思います。
計算間違いをしているかもしれませんので、式を確かめながら読んでいただければ幸いです。

お礼

早速の回答、ありがとうございます。

僕の書き方が非常に悪かったようで、申し訳ないです。実は問題が英語で書かれてまして…

1) By hand and using algebra, use the limit definition for the derivative to find f'(x) for f(x)=(√(x^2+5))/(x-9)

実は僕、"derivative"を日本語で何と言うのか知らないんです。辞書で引くと「[数]微分係数、[数]導関数」とあって、他の方の回答を読む限り、導関数なのかなぁと思いまして…。

解法については、答えはもう-5/9と出ているのですが、それに辿り着くための証明が必要のようなのです。例はstarfloraさんの所に書いた通りです。でも授業ではこんなのやらなかったですよ、多分、きっと、おそらく…。

回答No.1

starflora

では、アドヴァイスをします。答えをすべて欲しいと言っているのではありませんから。

　　一般に、f(x)=(g(x))^a
　　という形の微分は、まず、ａの階乗の部分を微分して、それに（　）のなかのｇ（ｘ）を微分して積を求めると答えがでます。　　（公式１）

　　問題の式は、f(x)=(√(x^2+5))/(x-9) ですが、
　　全部、√　のなかに入れてしまえばよいのです。すると、(g(x))^(1/2)
　　という式になり、まず、１／２の階乗部分を微分すると、
　　(1/2)*(g(x))^(-1/2) となります。
　　この後、g(x) を微分して先の式にかけるとよいのです。

　　f(x)=(√(x^2+5))/(x-9) は、
　　(x-9) を、√ のなかに入れてしますと、( )^(1/2) の形になるのです。

　　また、f(x)*g(x) の微分は、f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x)　となるという公式も使います。（公式２）。これで解けるはずです。要望通り、ヒントを記しました。（しかし間違ってるかも知れませんね）。なお、導関数は、x^aの場合、a*x^(a-1) となるという普通の公式も知っておかねばなりません。

お礼

早速の回答ありがとうございます!

すみません、僕の書き方が悪かったようです。補足させてください。計算機(TI-89)では-0.5555...=-5/9という答えになりました。それに対する証明をしなければならないようなのです。

例えば
lim x->0 (1-cos^4(Ax))/(sin(Bx^2))
=lim x->0 (1-cos^2(Ax))(1+cos^2(Ax))/(sin(Bx^2))
=lim x->0 (sin^2(Ax)(1+cos^2(Ax))/(sin(Bx^2))
=lim x->0 (sin^2(Ax))/(sin(Bx^2))・lim x->0 1+cos^2(Ax)
=2・lim x->0 (sin^2(Ax))/(sin(Bx^2))
=2・lim x->0 (sin(Ax))/Bx・(sin(Ax))/Bx・(Bx^2)/(sin(Bx^2))・((Ax)^2)/(Bx^2)
=2・[lim x->0 (sin(Ax))/Bx]^2・lim x->0 (Bx^2)/(sin(Bx^2))・(A^2)/B
=2・1・1・(A^2)/B
=(2A^2)/B

…のような奴だと思います(長!)。僕自身がまだ問題を把握できてないんですね、きっと。こんなだから解けないんですけど(^^ゞ

それときっと(x-9)を√の中に入れることは出来ない気がするのですが…。計算機の書き方でしか書けないのが辛いですね(OKWebでExcelの数式を貼り付けられると良いんですけど)。

解法としては、u=1/2と置き換えて連鎖法則を使うのでしょうか??? でも今回は分数になってますし…。やっぱり、すみません、もしよろしければ答えをすべてください。よろしくお願いしますm(__)m