導関数を定義に従って求める問題

質問

数学の得意な方にとっては基本的な問題なのかもしれませんが、自分で問題を解きながら、以下どのようにしたらよいかわからなくなってしまいました。
問題は

-5x^2+4xの導関数を定義に従って求めるというものです。

定義に従って、問題を解いていくと、今までの導関数の問題では分母のhが綺麗に消えて計算が出来たのですが、今回はhが残ってしまいます。

limit[(-5x^2-10xh)/h,h->0] + Limit[4x/h,h->0]

までは出来ました。ここからやり方がわかりません。
いろいろ教科書や参考書を見てみたのですが、
どうも、自分が悩んでいる部分の箇所が見つからなくて…。

どうか、宜しくお願いいたします。

回答No.2

Chararara · ベストアンサー

導関数の定義は、f(x)をxで微分する場合、
lim [f(x + h) - f(x)] / h
h→0

です。
f(x)= -5x^2 + 4x
なので、
f(x+h)= -5 (x+h)^2 + 4(x+h)
= -5 (x^2 + 2xh + h^2) + 4(x+h)

この式からf(x)を引くと、
f(x+h)-f(x) = -5(2xh + h^2) +4h

これをhでわると、
[f(x + h) - f(x)] / h = -5(2x + h) + 4

h→0の極限で、
　　　　　=-5 * 2x +4
=-10x + 4
になります。

（ここまで書いている間に回答が出てしまってますけど、せっかく書いたので・・・）

お礼

大変丁寧なご回答で恐縮でございます。
もう一度しっかり勉強していきたいと思います。
ありがとうございました。

回答No.5

bananafish_877

f[x]=-5x^2+4x
定義：f'[x]=lim〔f[x+h]-f[x]〕/h
＿＿＿＿h→0
です。
おちついて計算してみてくださいね。

回答No.4

ymmasayan

No.1のymmasayanです。
ミスがありました。すみません。

誤）limit[h→0]((-5(x+h)^2+4(x+h)-5x^2-4x)/h)

正）limit[h→0]((-5(x+h)^2+4(x+h)+5x^2-4x)/h)

-5xは+5xのミスです。

回答No.3

LLcK

計算してみましたが、

(-5x^2+4x)'
＝lim[{(-5(x+h)^2-4(x+h))-(-5x^2-4x)}/h,h→0]
＝lim[(-10hx+4h-5h^2)/h,h→0]
＝lim[-10x+4-5h,h→0]
＝-10x+4

となりました。
分母のhは消せるはずです。
計算途中を確認してみて下さい。

お礼

ありがとうございます、
やはりｈは消えましたか、
少し繁雑なので、困惑していたようです。
ご協力ありがとうございました。

回答No.1

ymmasayan

limit[h→0]((-5(x+h)^2+4(x+h)-5x^2-4x)/h)

から　limit[h→0]((-10xh+4h)/h)＝-10x+4

ではないでしょうか。