調和振動子の最小エネルギーについて

質問

不確定性関係ΔxΔp=h/4πのとき
調和振動子のエネルギーEが
E=(Δp^2)/(2m)+(mω^2Δx^2)/2　

で定義されているとき、Eの最小値を計算したいのですが
ラグランジェの未定数法乗を使わずに
計算しようとして不確定性関係からΔpを消去して
E(Δx)=h^2/(32π^2mΔx)+(mω^2Δx^2)/2　
に変形しました。
次にdE/dΔx=0 になるΔx が計算できずに困っています。
そして計算で求まった最小エネルギーの物理的意味
も併せてわかる方がいたら教えてください。

回答No.1

drmuraberg · ベストアンサー

Δpを消去した式は正しくは
E(Δx)= A/Δx^2 + BΔx^2,
ここに
A= h^2/(32π^2, B = mω^2/2
です。

dE/dΔx = -2A/Δx^3+2BΔx = 0
これより
Δx^2 = √A/B
これをE(Δx)の式に代入すると
E(Δx)= 2√AB = hω/4π

この式の意味するところは、調和振動子の持つ最低エネルギは
不確定性原理の条件下ではhω/4πである（ゼロではない）
ということです。

量子力学の調和振動子の計算からはエネルギは
E = hω(n + 1/2)/2π
で与えられます。ここでn = 0 と置いてＥを求めると、
E = hω/4π
となります。
http://homepage2.nifty.com/eman/quantum/oscillator.html

調和振動子は、量子力学的なゆらぎのために振動を止める事が決してできず、
残ってしまうこの振動は「零点振動」、この時のエネルギは「零点エネルギ」と
呼ばれます。絶対零度でも観測される振動です

お礼

ありがとうございました。m(_ _)m
E(Δx)計算が間違っていました
ただ漠然と解こうとしていましたが
不確定性原理のために
最小エネルギーが0にならない事を
理解するための問題だったことがわかりました。