対数の真数

質問

定積分の計算をするとき
　∫[a to b] (1/1＋ｘ)dx＝[a to b][log|1＋ｘ|]　

のように真数に絶対値をつけますよね？

ここで[0 to 1][log(1＋ｘ)]　のような表記を見かけ疑問に思ったんですが
　後にＸに値を代入して真数が明らかに正だと分かる場合つまり、
積分区間からして負になりえない場合は[log(1＋ｘ)]　と表記するべきなのでしょうか？　
それとも[log|1＋ｘ|]　と表記する方がいいのでしょうか？

　私としては計算上後者の方がミスを防げる意味で後者の方がより好ましいと思うのですが　自分では判断しかねますので　分かる方教えてください。

回答No.7

alice_44 · ベストアンサー

[log(1+x)][0 to 1] も、[log|1+x|][0 to 1] も、表記として間違いはないです。
ただし、∫[a to b] dx/(1+x) = [log|1+x|][a to b] と表記するときに、
[a to b] の範囲で 1+x の符号が変化しないかを確認していなければ、
論理的には間違いです。

右辺は 1+a と 1+b が異符号でも意味を持つ式ですが、
左辺の積分は、1+a と 1+b が同符号でなければ、収束しないからです。
a = -1, b = 2 などの例で、考えてみてください。

回答No.8

alice_44

おっと、違った。
a = -2, b = 1 などの例で。

回答No.6

konoshudai

絶対値をつけても，はずしても，計算結果が同じになるので
あれば，どちらの表記でもよいのではないか，と思います。

たとえば，入試において，はずせる絶対値をはずしていない
ということで減点されることはないだろう，と考えます。

ただ，はずせる場合ははずした方が，若干センスがよい（？）
ような気がしますし，でも，お書きになっているように
計算ミスを防ぐ，という観点からは，あえてつけておく
という気持ちも分かります。

回答No.5

noname#29493

積分区間に関係なくと書いてしまいました。すいません。積分可能である区間においてでした。
つまりf'(x)/f(x)が積分可能である区間では
∫f'(x)/f(x)dx＝log|f(x)|＋C　が定義。がただしいです。(f(x)≠0)
>>f(x)≧0ならlog|f(x)|＝logf(x)
これも訂正でf(x)>0なら・・・です。

回答No.4

noname#29493

前にも書きましたが
∫f'(x)/f(x)dx＝log|f(x)|＋C　が定義です。(積分区間に関係なく)
これはf(x)≧0ならlog|f(x)|＝logf(x)で
d(logf(x))/dx ＝f'(x)/f(x)
f(x)＜0ならlog|f(x)|＝log{-f(x)}で
d(log{-f(x)})/dx ＝{-f'(x)}/{-f(x)}＝f'(x)/f(x)
いずれもf(x)の正負に関係なくd(log|f(x)|)/dx＝f'(x)/f(x)がいえて
∫f'(x)/f(x)dx＝log|f(x)|＋Cは成り立つので定義としていいのです。
これをf(x)=x＋1とし、定義にしたがって計算すると
∫[a to b] (1/1＋ｘ)dx＝[log|x＋1|][a to b]
です。
だから定義にしたがって計算するのが正しいので
log(x＋1)としてはよくないと思います。
ただx>0なら|x|=xは定義なので、まちがえではありませんがやはり
∫f'(x)/f(x)dx＝log|f(x)|＋C　が定義であるため、定義式を変えて
括弧にしないほうがいいです。

回答No.3

alice_44

積分の上限下限は、式に書いてある通り
a≦x≦b に決まっているのですが…

この範囲で x+1 の符号が
常に正ならば、log(1+x)、
常に負ならば、log(-1-x) と書くのがよいです。

積分範囲内で 1+x の符号が変わる場合には、
その積分は収束しませんから、
絶対値記号をつけて書くことには、あまり
意味がありません。

複素積分で考えるにしても、今度は
a to b の途中経路によって答えが変わるように
なりますから、端点 a,b だけ指定しても
意味をなしません。

お礼

回答ありがとうございます。
絶対値内の符号変化がおこる場合には－をつけたりしてやることは分かっているのですが、今私がここで疑問に思う一番のことは
　log|1＋ｘ|　（0＜ｘ＜1）
のような簡単なものなら[log(1＋ｘ)][0 to 1]としていいことは直感的にわかるのですが
　絶対値内がもっと複雑な式でかつ与えられた積分区間内で
　|　～～　|＝～～　（～～＞０）
となるときは計算最中には瞬時に分からないからとりあえずは
　[log|～～|]　
　と書いておいてこれに値を代入して計算していってもいいのか？
ということです。
　つまり、言い換えると[log(1＋ｘ)][0 to 1]　も　[log|1＋ｘ|][0 to 1]　も表記として間違いはないのですか？ということです。

回答No.2

info22_

積分の上下限が「x+1<a<b」の場合は
∫[a to b] (1/(1+x)dx＝[log(1+x)] [a to b]
と書き
積分の上下限が「a<b<x+1」の場合は
∫[a to b] (1/(1+x)dx＝[log(-1-x)] [a to b]
と書くのが正しいでしょう。

しかし、積分の上下限が
a<x+1<bの時は
　（実数の範囲では）積分値は存在しません。
　（複素積分の範囲でなら積分可能で積分値も虚数になります。）

従って、機械的に
　∫[a to b] (1/(1＋ｘ))dx＝[log|1＋ｘ|] [a to b]
としてはいけません。積分の範囲によって上に述べた2つのケースを
絶対値で表しているだけで、積分が存在するには、積分範囲に条件があることを忘れないで下さい。（絶対値を使った場合は適用条件があること、絶対値を使わないで表現するなら、場合わけして積分結果を表現することを認識しておくこと。）

お礼

回答ありがとうございます。　ご指摘された点十分に注意して使い分けようと思います。

回答No.1

5101623

どちらでも構いませんが、()で表記するのはちょっとカッコいいように見えるからだと習いました。
それと絶対値のままにしても減点はされませんのでご安心を。
もし学校の先生に減点されるようなら、定期テストとかのみ、先生の採点にあわせてみるのもいいかもしれません。

お礼

回答ありがとうございます。　試してみようと思います。