楕円と、ｘ＝pcosΘ、ｙ＝ｐｓinΘ

質問

楕円ｘ＾２/ａ＾２　＋　ｙ＾２/ｂ＾２＝１の周上に、２点Ｐ．Ｑを∠ＰＯＱ＝９０°のようにとる。Ｐ．Ｑでこの楕円に引いた接線の交点をＲとするとき、点Ｒの軌跡を求めよ。

＜解答＞

(ｘ・ｐcosΘ)/a＾２　＋　ｙ・psinΘ/b＾２=１　（１）
-(ｘ・qsinΘ)/a＾２　＋　ｙ・qcosΘ/b＾２=１
(２)

交点Ｒ（Ｘ，Ｙ）とするとＲは（１）（２）をみたすので、
ＸcosΘ/a＾２　＋　ＹsinΘ/b＾２　＝1/p
ーＸsinΘ/a＾２　＋　ＹcosΘ/b＾２ = 1/q

二乗の和をつくると
X＾2/a＾4＋Ｙ＾2/b＾4＝1/p＾2 + 1/q＾2 =1/a＾2+1/b＾2

よって軌跡は、
だ円x＾2/a＾4+y＾2/b＾4 = 1/a＾2 + 1/b＾2である。

この問題わかりません！
どうして、ｘ・ｐcosΘと題意の式のｘの部分に代入してるのか理由がわかりません。
私なりに考えたら、POXがΘとして、（ｐが右でｑが左に点をとりました）POQが90°なので、ｘ＝pcosΘと考えて、題意に代入すると
P＾2Cos＾2Θ/a＾２　＋P＾2Sin＾2Θ/b＾2＝１と式がなると考えたのですけど、解答をみたら（１）の式となってました＞＿＜？？（２）の式も同様に解りません。

あと交点Ｒ（Ｘ，Ｙ）のＲは（１）（２）をみたすので～って部分の意味が良くわかりません＞＿＜？
そのあと、式が二つできてるのですけど、これはどうやったらこのように作れるのですか？
そして、その後二乗の和をして答えを導いてますけど、何のことをいってるのかゼンゼン解りません＞＿＜
二乗の和をしたら、どうして答えの軌跡が求まってるのですか？

回答No.1

oyaoya65 · ベストアンサー

＞解答をみたら（１）の式となってました＞＿＜？？
＞（２）の式も同様に分りません。

xy座標での点P(p1,p2),点Q(q1,q2)の極座標表現で書くと
P(p,Θ),Q(q,Θ+90°)となります。
座標間の関係は
p1=pcosΘ,p2=psinΘ...(3)
q1=qcos(Θ+90°)=-qsinΘ，q2=qsin(Θ+90°)=qcosΘ...(4)
この式ですでに直交条件が入っていますね。

QをQ(q,Θ-90°)とした場合は
q1=qcos(Θ-90°)=qsinΘ
q2=qsin(Θ-90°)=-qcosΘ
となりますね。

ところで楕円上の点P(p1,p2)における接線の方程式は公式にもなっている（参考URLを見てください）とおり
xp1/a^2 +yp2/b^2=1...(5)
です。
また楕円上の点Q(q1,q2)における接線の方程式は同様に
xq1/a^2 +yq2/b^2=1...(6)

(3)の関係を(5)式に代入すると(1)式になります。
また
(4)の関係を(6)式に代入すると(2)式になります。

教科書や参考書に2次曲線上の点（接点）における接線の方程式が公式としてまとめられていますので復習しておいてください。（下の参考URLと合わせて覚えておいてください。）

＞あと交点Ｒ（Ｘ，Ｙ）のＲは（１）（２）をみたすので～って部分の意味が良くわかりません＞＿＜？

交点R(X,Y)は
P(p1,p2)点における接線(1)=(5)とQ(q1,q2)点における接線(2)=(6)との交点の座標ですから、
点R(X,Y)は両方の接線上の点ということですね。
つまり、R点の座標(X,Y)を(1)および(2)に代入しても成り立つということです。

＞そのあと、式が二つできてるのですけど、これはどうやったらこのように作れるのですか？

接線(1)にRの座標(X,Y)を代入し両辺をpで割った式が前の式
XcosΘ/a^2 ＋ ＹsinΘ/b^2 = 1/p...(7)

接線(2)にRの座標(X,Y)を代入し両辺をqで割った式が後の式
-XsinΘ/a^2 ＋ ＹcosΘ/b^2 = 1/q ...(8)

です。

＞そして、その後二乗の和をして答えを導いてますけど、何のことをいってるのかゼンゼン解りません＞＿＜

これまでの過程が理解不能になって見えますので先が分からなくなっているだけと思います。

＞二乗の和をしたら、どうして答えの軌跡が求まってるのですか？

P点の座標(p,Θ),Q点の座標(q,Θ)のp,q,Θを消去しないと軌跡になりません。軌跡は仮に取った点の座標に依存していては軌跡といえませんので、p,q,Θを消去する操作をしているわけですね。
XとYの間の関係が定数a,bだけで表せるとき、その関係式をf(X,Y)=0とすれば、R(X,Y)の軌跡がf(x,y)=0というわけです。

楕円の式に式(3)の点Pの座標(p1,p2)を代入して両辺をp^2で割った式は
cos^2Θ/a^2＋sin^2Θ/b^2 = 1/p^2...(9)

楕円の式に式(4)の点Qの座標(q1,q2)を代入して両辺をq^2で割った式は
sin^2Θ/a^2＋cos^2Θ/b^2 = 1/q^2...(10)

(9)と(10)の辺々を加えて、sin^2Θ+cos^2Θ=1の関係を代入すると
1/a^2+1/b^2 = 1/p^2 + 1/q^2...(11)

(7)の1/pと(8)の1/qのそれぞれを自乗して加えると
1/p^2 + 1/q^2＝
(XcosΘ/a^2＋YsinΘ/b^2)^2 + (-XsinΘ/a^2 ＋ ＹcosΘ/b^2)
＝X^2/a^4 ＋Y^2/b^4
したがって(11)から

X^2/a^4 ＋Y^2/b^4＝1/a^2+1/b^2...(12)

この式がp,q,Θに依存しないRのX,Y座標の関係式ですね。(12)の(X,Y)の座標を一般座標(x,y)に変更したものが点Rの軌跡というわけです。

Q点をP点の右側に90°回転した位置にとった場合についても考えてみてください。

長くなりましたがよく読み直して理解するようにしてください。

参考URL：

>

お礼

返事遅くなってごめんなさい！＞＿＜実はまだこの問題について、前に習ったところに戻って復習したので、まだ解けてないのですけど＞＿＜
今日もう一度頑張ります！！　だいぶ、忘れていた事とかがあったので、今日はなんだか解ける気がします！！いつも返事書いて頂いてありがとうございました！！　＞＿＜！！！

補足

ありがとうございました！！これから頑張って何度も読み返してみます！！＞＿＜　ちょっと難しいですけど頑張ります＞＿＜

回答No.2

kabaokaba

何かの模範解答ですか，これ・・・
わざわざ文字を増やして話を混乱させてるなあ

まず，楕円上の点Pを
P(a cosθ，b sinθ)とおけるのはいいですか？
これは楕円のパラメータ表示です．
＃「解答」ではこれをなぜかP(p cosθ, q sinθ)と
＃おいていて，「二乗の和をつくると」のあとで
＃こっそり「1/p＾2 + 1/q＾2 =1/a＾2+1/b＾2」なんて
＃してます

そして，角POQが90度なので
Qは(-b sinθ，a cosθ)，または
(b sinθ，-a cosθ)とおけます
＃90度だと内積が0になることを考えます

つぎに，楕円上の点(p,q)での接線は
px/a^2 + qy/b^2 =1
とおけることを思い出してください
これにPとQの座標を代入すると
(1)と(2)が出てきます
これの交点がRなのでRを(X,Y)とおくと
交点だから当然(1)と(2)の上にありますので
(1)(2)にX,Yを代入した式が成立します．

このX,Yが満たす方程式を求めればよいので
本当ならば地道に連立方程式をといて
XとYをθの式で表してから
それがθを消去してRの軌跡を求めます

ところが，式をよくみると
二乗して足すとX，Yを具体的に求めなくても
X，Yが満たす式がわかってしまうんです．

こんなとこです．
ただし，その「解答」には
問題があります
まず，

上で述べたとおりQには二通りの可能性があるのに
それを考慮していない
＃なす角が90度といった場合，
＃正負の二つの方向を考える必要がある

つぎに

二乗和でRが満たす軌跡の方程式を求めたとしても
Rがその方程式で表される図形の全ての点を
通るとは限らない．
その検証が抜け落ちています．

お礼

ありがとうございました！！　いま前の習ったところをもういちど見直してから、もう一度この問題といてみようかとおもいます！！　学校が無いので今日は数学の勉強頑張ります！！＞＿＜　ありがとうございました！！

補足

ありがとうございました！今日の夜、頑張って読んでます＞＿＜！！