円→楕円への写像

質問

単位円 x^2+y^2=1
楕円　　(x/a)^2+(y/b)^2=1
があって，原点から半直線を引くと，円と楕円それぞれに交点が出来ますよね？
このとき，円との交点に楕円との交点を対応させる写像はどう書けますか？

回答No.4

naniwacchi · ベストアンサー

#1です。
返答が遅くなってしまって、すみません。

＞やりたいことは，勝手に単位円と楕円が与えられたときに，
＞その間の写像を構成したいのです．
＞なので，短辺，長辺が単位円の半径と一致しているとは限りませんよね．
そうですね。
先の添付のような位置関係は、ある意味まれですよね。
逆に、そこまで「持っていけばいい」と考えてみると

1) 単位円に対して、軸方向に対する拡大・縮小変換：Sx(a) or Sy(a)をおこない、
2) 回転変換：R(θ)で回転させて、軸を回し、
3) その後、平行移動する。

1)や 2)は、1次変換の行列として表すことができますね。
・x軸方向に a倍：Sx(a)＝ ( a, 0; 0, 1 )
・y軸方向に a倍：Sy(a)＝ ( 1, 0; 0, a )
・回転変換：R(θ)＝ ( cosθ, -sinθ; sinθ, cosθ )

最後の平行移動は、単純に (x, y)→ (x-p, y-q)と表すことができます。

といったところだと思います。

回答No.3

alice_44

円上の点にせよ、他の何にせよ、点 (x,y) と
原点を結ぶ半直線上の点は (cx,cy) ただし c＞0
と書けます。この座標を楕円の式に代入すると、
c を未知数、x,y を定数とする二次方程式
となって、c の値が x,y を含む式で表せます。
写像の式を整理するとき、xx+yy=1 は
使っても使わなくてもよいでしょう。
いづれにせよ、円上にない点がどこへ移るか
指定されていないのですから、写像はひとつに
決まる訳ではありません。いくつもある解の中で
好きなものを選べばよいでしょう。

回答No.2

hrsmmhr

円上の点(x,y)=(cost, sint)として
楕円上の点(X,Y)=(kcost,ksint)とおいて
k=±√(cos^2t/a^2+sin^2t/b^2)^(-1)
たとえばプラスなら
X=x/√(x^2/a^2+y^2/b^2)
Y=y/√(x^2/a^2+y^2/b^2)
と書けると思います

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。

＞円との交点に楕円との交点を対応させる写像はどう書けますか？
添付の図でいえば、赤い直線と円周および楕円周との交点（点Pと点Q）を
対応させるということですよね？
難しくないのかもしれませんが、そもそもの写像が少し違うと思います。

添付の図にも書き入れていますが、
円→楕円の写像は、楕円の短径となる方向への拡大・縮小変換となります。
よって、対応している点は、点P→点Qではなく、点P→点Rとなります。

参考になれば、幸いです。

補足

> naniwacchi さん

回答ありがとうございます．
図まで添付していただき，非常に見やすいです．

やりたいことは，勝手に単位円と楕円が与えられたときに，その間の写像を構成したいのです．
なので，短辺，長辺が単位円の半径と一致しているとは限りませんよね．
そう言った場合でも，その単位円から楕円への写像を一発で記述できますか？
はじめは単純に（x,y）→（ax,by）という対応関係を考えたのですが，よく考えると違う気がしまして・・・．