連立の問題風

質問

60円の切手をa枚、80円の切手をb枚買ってちょうど2000円にしたい。
必ず、2種類の切手を買うことにするとき、このような買い方は全部で何通りあるか？

解答を見ると
関係式は　3a+4b=100となる
3a+4b=100　をbについて解くと
b=25-(3/4)a
ここでa,bは正の整数より、aは4の倍数とわかります。
またb=25-(3/4)a＞0より
a＜100/3
以上より、aは0<a<33(1/3)を満たす4の倍数ならよいことがわかりました。
a＝4,8，12・・・32
よって8通り

と解答がなっています。
このような問題を解くとき、どのように考えていけばいいのですか？
また、「関係式は　3a+4b=100となる」と解答が書いてある、以降わかりません。
すいませんが、できるだけ詳しい解説をお願いします。

回答No.6

debut · ベストアンサー

未知数が２つで式が１つしかなく、しかもその未知数は整数であるという
ときには、まあ、基本的には試行錯誤で数を求めるのでしょうが、それで
は非常に効率が悪い。

例えば、この３ａ＋４ｂ＝１００という式のａに１を代入したとすると、
３＋４ｂ＝１００→４ｂ＝１００－３→４ｂ＝９７→ｂ＝９７/４でｂは
整数にならない。
すると、ここで４ｂ＝●　になったとき、ｂが整数になるためには ● の
部分が４で割り切れなければならない、もっといえば１００－３ａの時点
で１００－３ａが４で割り切れなければならないということになります。

そして、１００－３ａが４で割り切れるときを見つけるわけですが、この
式の場合は４ｂ＝１００－３ａを４で割ってみると、ｂ＝２５－(３/４)ａ
となるので、ａには３/４が分数でなくなるような数、つまり４の倍数が
くればよいということになるわけです。

そのような流れで、ｂが負にならないような範囲でａにあてはまる４の倍
数を見つけていきます。
※ａの範囲はｂが負にならない、つまり２５－(３/４)ａ＞０を解いて
　(０＜)ａ＜１００/３　→ａ＜３３.３３３・・というのは解答にある
　通りです。

回答No.8

D-JAGA

#2です。b=25-(3/4)aのグラフは書きましたでしょうか？
もう少し形を変えると、ｂ=-(3/4)a+25
bをy、aをｘにして書き換えると、ｙ=-(3/4)ｘ+25
あなたは、ｙ＝-(3/4)ｘのグラフを書きなさいといわれたら、どのように書きますか？僕の場合ですと、ｘ軸の方向に-4進んで、ｙ方向に3進み、これを繰り返して書いていきます。そして、このようにして書いた点は整数だということはわかると思います。このグラフの書き方を良く考えながら問題とグラフをよく見て下さい。この解答が理解できると思います。

回答No.7

sak_sak

> b=25-(3/4)a
> ここでa,bは正の整数より、aは4の倍数とわかります。
> となっているのですが、どうして、aは4の倍数とわかるのですか？

bは正の整数
25も正の整数です。
25(正の整数) から (3/4)a を引いて b(正の整数) になったということは、(3/4)a が整数でないといけませんよね。
(3/4)a つまり 3(a/4) が整数となるには、a/4 が整数でないといけないわけです。

回答No.5

age_momo

>b=25-(3/4)a
>ここでa,bは正の整数より、aは4の倍数とわかります。となっているのですが、どうして、aは4の倍数とわかるのですか？

問題の意味を考えればa,bともに整数のはずです。

25-(3/4)a・・・整数　⇔　(3/4)a・・・整数

(3/4)aが整数になるにはaは4の倍数である必要があります。

つまり、aが4の倍数でないとbが整数にならないからです。

回答No.4

Mathematica

削除間近
b=25-(3/4)a
>ここでa,bは正の整数より、aは4の倍数とわかります。となっているのですが、どうして、aは4の倍数とわかるのですか？

bは正の整数、ということは(3/4)aも正の整数でしょう。
(3/4)aを整数にするには４倍するしか方法がない。

回答No.3

mshr1962

#2の方の補足：どうして、aは4の倍数とわかるのですか？
順番にすると
60a+80b=2000 通分(20で両辺を割る)で3a+4b=100 これを b=の形式に変換でb=25-(3/4)a
ここでbが整数であるための条件で(3/4)aも整数の必要があります。
(3/4)aが整数ということはaが4の倍数である必要が出てきます。

回答No.2

D-JAGA

この解答かなり丁寧に書いてあるので、これ以上は説明しにくいです。
とりあえず式 3a+4b=100までたどり着けたら、b=25-(3/4)aに変形して(a=～の形でもOK)グラフを書いてください。ｙ軸にｂ、ｘ軸をaとして書いてみてください。
そこから、a,bともに正の整数になる所を探してみてください。これで、大体aとbの関係を理解できるはずです。
ただし、このグラフを解答として出しても正解にはされないと思います(理由としては、所詮手で書いた線ですし、0.01mmずれていても眼ではわからないので、その解答が必ず正しいとはいえないからです。)

補足

b=25-(3/4)a
ここでa,bは正の整数より、aは4の倍数とわかります。となっているのですが、どうして、aは4の倍数とわかるのですか？

回答No.1

tatsumi01

完全に解説すると規約違反になります。
「連立の問題風」とまさにタイトルにある通り、本来は連立方程式になる筈のところですが、未知数が２個なのに方程式が一つしか立ちません。
60a+80b = 2000 (これが理解できないと以下の説明もムリですね)
こういうように、未知数の個数より方程式の個数が少ない問題を不定問題といいます。不定問題を解くためには他の条件が必要ですが、この問題では a, b がともに整数という条件をうまく使います。
上の方程式の両辺を 20 で割ると
3a+4b=100
このようにするのは、a, b が整数であることをうまく使うために係数の公約数をなくす目的です。
以下は質問に書いてある通りに考えて行けばよいのですが、a, b が整数であることのほかに、０にもマイナスにならない（マイナスの数の切手は変えませんし、２種類を必ず買うので０ではいけない）ことも条件に入れていることに注意して下さい。