整数の性質の問題

質問

子供の問題ですが解説をお願いします。

１×２×３、２×３×４・・のように連続する３つの整数の積を９８種あります。そのうち１００の倍数と４の倍数は何種類ありますか。

連続する３つの整数に２５の倍数が含まれているので
２３×２４×２５　２４×２５×２６　（２５×２６×２７）
４８×４９×５０　（４９×５０×５１）　５０×５１×５２
（７３×７４×７５）　７４×７５×７６　７５×７６×７７
９８×９９×１００
が考えられると思います。でもこの中で実際確かめてみると()のものは１００で割れません。これは実際にひとつひとつ計算するしかないのでしょうか。

また４の倍数についてはお手上げです。
小学生でもわかるように教えていただけると有難いです。
よろしくお願いします。

回答No.1

age_momo · ベストアンサー

１００の倍数ということは２５の倍数であると同時に４の倍数でもなければいけません。

ところで数字は偶数、奇数が交互に出てきます。
連続する３つの数字の掛け算の場合、

奇数×偶数×奇数

もしくは

偶数×奇数×偶数

のどちらかです。これがまず前提です。
ここで質問者さんが気づかれたように１００の倍数であるためには
２５の倍数である必要があります。と同時に４の倍数でもなければなりません。
４の倍数であるためには

奇数×偶数×奇数

の時には偶数が４で割り切れる必要があります。

偶数×奇数×偶数

はどの組み合わせでもかけると４の倍数になります。
質問者さんがあげた組のうち、２５や７５を間に挟むものは
両側が偶数ですから問題なく１００の倍数になります。
これらが端に来るときは

奇数×偶数×奇数

ですから間の偶数が４の倍数のときだけ積が１００の倍数です。
（間にくるのが２４や７６、これは４の倍数ですから掛けると１００の倍数になります）
５０の場合は逆で５０自体は４の倍数ではないのでもう一つの偶数と組み合わせる必要があります。
だから
４８×４９×５０　、　５０×５１×５２
だけが１００の倍数になります。

次に４の倍数ですが、ならないものを数えるほうが簡単でしょう。
上にも書いたように
偶数×奇数×偶数
は必ず４の倍数になります。
奇数×偶数×奇数
も真ん中の偶数が４の倍数なら積は４の倍数です。
だから４の倍数にならないのは
奇数×偶数×奇数
で４の倍数ではない偶数が真ん中に来たときだけです。
結局、２から９８までで４の倍数ではない偶数はいくつあるでしょうか？
それを９８個から引けばいいです。

お礼

お礼が大変遅くなりました。
このまま子供の読ませたらなるほどとよくわかったようです。
ありがとうございました。

回答No.4

noname#71905

小学生向けとして、
　規則性をとらえる問題と考えてみてはいかがでしょうか

●以下のようにいくつか書いて、規則を考えるという方法です。
1×2×3＝6・・・×
2×3×4＝24・・・◎
3×4×5＝60・・・◎
4×5×6＝120・・・◎
5×6×7＝210・・・×
6×7×8＝336・・・◎
7×8×9＝504・・・◎
8×9×10＝720・・・◎
9×10×11＝990・・・×
10×11×12＝1320・・・◎
11×12×13＝1716・・・◎
12×13×14＝2184・・・◎
・・・・
●というように適当な量を書き出して・・・
　そのうちに、お子さんが気がつくような気がします。

●いろんな事を考えると思います。
☆何人かの方が示されたように、偶数・奇数の関係や
☆結果から×◎◎◎の繰り返しとか
☆ときには、大人の想像できないようなひらめきを見せたり、
●最後にまとめてあげれば、忘れないものとして頭の中に入ると思います。

●とりあえず、規則性を使った別法として
{この規則性がきちんと続くことを偶数・奇数等で納得させたあとですが}

(×◎◎◎)の繰り返しを組としてまとめ、(98÷4＝24余り2　で)　24組
　まとめた組の中で　◎は、3×24＝72個
　あと残りが、×◎　なので、1個
　　合わせて、72＋1＝73個

●実際大人も試行錯誤から規則性を発見し
問題を解決していることが多いと思います。

お礼

回答ありがとうございます。
辛抱して規則性に自分が気づくかどうか、発見が楽しめるかどうかですね。
ありがとうございました。

回答No.3

abyss-sym

４の倍数の場合
偶数×奇数×偶数の場合
偶数が２の倍数であるから、偶数が２回かけてあるので、４の倍数
９８の半分なので４９個

奇数×偶数×奇数の場合
真ん中の偶数が４の倍数であればいい
偶数＝２,４,６,８,１０,１２・・・・
順番に見ていくと、
４の倍数とそうでないものが交互に来てることがわかります。
掛け算の真ん中の数は、２～９９
この９８個の数の中には、その半分４９個の偶数が入っています。
そして、４の倍数とそうでないものが交互に来てることを考えると
２４個の４の倍数があることがわかります。

したがって、４９＋２４＝７３個

小学校の子供がわかるかどうか不安ですが、説明の役に立てていただければと思います。

お礼

＞＞４の倍数とそうでないものが交互に来てることがわかります。
ここにはっと気がついてすっきりしたようです。
ありがとうございました。

回答No.2

koko_u_

茶々なのであんまり気にしないように

>次に４の倍数ですが、ならないものを数えるほうが簡単でしょう。
4の倍数となる場合を数えても同じだね。

>偶数×奇数×偶数
>は必ず４の倍数になります。
>奇数×偶数×奇数
>も真ん中の偶数が４の倍数なら積は４の倍数です。
この時点で 4 の倍数となるケースをすべて数え終えていると思います。

お礼

遅くなりましたが、有難うございます。
よくわかりました。