調和多項式に関する補題

質問

調和多項式に関する次のような補題を考えています。
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
Ｈ：調和多項式の全体
Ｈk：Ｈのk次斉次式全体
としたとき、ＨはＨkの和としてただ一通りに
表される（直和）
つまり、
Ｈ＝ΣＨk（Σはk=0から∞までの和）
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

【質問１】
ただ一通りの和として書けることを示すためには、
f(x)∈Ｈをとり、

f(x)＝Σhk(x)＝Σh'k(x)　…(1)
（※Σはk=0から∞までの和、hk(x),h'k(x)∈Ｈk）
としたとき、hk(x)＝h'k(x)を示せばいいと考えたのですが、これはほぼ明らかとのこと。なぜ明らかなのでしょうか？

【質問２】
また(1)に関して、この和はk=0から∞までの和なので
無限和のように思えますが、実際はf(x)が多項式のため、ゼロでないhk(x)は有限個らしいのですが、これはどうしてでしょう？
（ゼロでないhk(x)は有限個なので、ほとんどのhk(x)がゼロであり、このhk(x)をf(x)∈Ｈのk次斉次成分と呼ぶらしいのですが、こう呼ぶ理由も知りたいです。）

【質問３】
質問１の部分が分かれば、この補題の証明は終わりだと思ったのですが、それでは不完全で、この補題の証明はf(x)∈Ｈに対して
f(x)＝Σhk(x)　　　　　(※deghk(x)=k)
と一通りに書いたときに、hk(x)∈Ｈであることを調べ
なければならないようです。
hk(x)∈Ｈkであり、ＨkはＨのk次斉次式全体なので
hk(x)∈Ｈは明らかなのではないかと思ったのですが、
そう簡単にはいえないのでしょうか。
また、この補題の証明で、なぜhk(x)∈Ｈであることを調べなければならないのでしょうか。

以上３つが質問です。長くなってしまいましたが、回答よろしくお願い致します。

回答No.1

grothendieck

【質問１】
ほとんど明らかですが、形式的に示すならば例えば３変数のとき、
　ΣArst x^r y^s z^t = ΣBrst x^r y^s z^t

が成立する時、任意のr,s,tについて両辺を
∂＾n/∂＾r∂＾s∂＾t　(n=r+s+t)で微分してx=y=z=0とおけば Arst = Brst が示されます。

【質問２】
ゼロでないhk(x)が有限個でないとすればΣhk(x)は無限次の多項式(多項式とは通常呼びませんが)になってしまいます。有限次の多項式と無限次の多項式は等しくなりません。

【質問３】
hk(x)∈ＨkがHに属していることを示す必要はもちろんありませんが、任意の f(x)∈Ｈ を同次成分に分解したとき、各同次成分がHに属することを示す必要があります。つまり、uがある次数の同次多項式、vがそれとは異なる次数の同次多項式で、Δu≠0, Δv≠0, だがΔ(u+v)=0 となるようなことはないということです。