独立性

質問

確率変数、XとYが互いに独立なとき、
f(X)とｇ(Y)は互いに独立になりますか？
(ｆとｇはある関数）
確率の勉強をしていて、計算をするときに必要になり疑問に思ったのですが…
分かる方がいらっしゃればよろしくお願いします。

回答No.1

ojisan7 · ベストアンサー

事象の独立性は、確率変数に依存しますので、ＸとＹが独立であれば、当然、f(X)とｇ(Y)は互いに独立です。

お礼

やはりそうですか。
早速の回答、ありがとうございました。

回答No.2

adinat

ＸとＹが独立であることの定義(のたくさんあるうちの一つは)、任意の事象Ａ、Ｂに対して、
Ｐ(Ｘ∈Ａ，Ｙ∈Ｂ)＝Ｐ(Ｘ∈Ａ)Ｐ(Ｙ∈Ｂ)
が成り立つことです。ｆとｇをボレル可測関数（当然すべての連続関数も含む）とすると
Ｐ(f(Ｘ)∈Ａ，g(Ｙ)∈Ｂ)＝Ｐ(Ｘ∈f^{-1}(Ａ)，Ｙ∈g^{-1}(Ｂ))
となりますが、f^{-1}(Ａ)もg^{-1}(Ｂ)もボレル集合だから（ボレル可測の定義は任意のボレル集合の引き戻しがボレル集合になること）これらも事象です。したがって、ＸとＹの独立性から
＝Ｐ(Ｘ∈f^{-1}(Ａ))Ｐ(Ｙ∈g^{-1}(Ｂ))＝Ｐ(f(Ｘ)∈Ａ)Ｐ(g(Ｙ)∈Ｂ)
となります。Ａ、Ｂは任意だったから、これはf(Ｘ)とg(Ｙ)が独立であることの証明になっています。

お礼

ありがとうございます。
より数学的な回答でためになります。