密度関数

質問

ただいまテスト勉強中です。
確率変数Ｘ，Ｙがお互いに独立で、(0,1)上の一様分布に従うとき、確率変数　
Ｚ＝Ｘ／（Ｘ－Ｙ）
の密度関数を求めよ。
という質問です。よろしくお願いします。

回答No.4

reiman

δ:ディラックのデルタ関数
h:ヘビサイド関数:x<0 h(x)=0,0<x h(x)=1
p:X,Yの密度:p(x)=h(x)-h(x-1)
G:Zの分布とすると
G(z)=∬dxdyh(z-x/(x-y))p(x)p(y)
g:Zの密度は
g(z)=G'(z)=∬dxdyh'(z-x/(x-y))p(x)p(y)=∬dxdyδ(z-x/(x-y))p(x)p(y)
この積分を求めるために
u=x/(x-y),v=xの関係式によって
(x,y)→(u,v)
なる変換による置換積分をこの式に適用すると
g(z)=∬[(u,v)∈W]dudvδ(z-u)|J|
ただし
J:(x,y)→(u,v)のヤコビアン行列式
W={(u,v)|0<(uv-v)/u<1 and 0<v<1}

お礼

今回の回答で、大体分かりました。ありがとうございます。

回答No.3

reiman

p:X,Yの密度:x<0 p(x)=0,0<x<1 p(x)=1,1<x p(x)=0
g:Zの密度
g(z)=∬dxdyδ(z-x/(x-y))p(x)p(y)

1<z g(z)=1/2/z^2
0<z<1 g(z)=0
z<0 g(z)=1/2/(1-z)^2

補足

もうちょっと詳しく説明していただけますか？よろしくお願いします。

回答No.2

arrysthmia

派生的な累積分布関数を求める際のポイントは、
事象の同値変形です。

Z＜z を、これと同値な X,Y の条件で言い換えるには、
不等式 X/(X-Y)＜z を
0＜X＜1, 0＜Y＜1 の条件下に解いて…

z＞0 のとき、0＜Y＜X(1-z)/z または X＜Y＜1。
z＜0 のとき、X＜Y＜X(1-z)/z です。

X,Y の同時確率密度 1(定数関数) を、この領域上で積分
すれば、Z の累積分布関数が得られます。
積分領域が y→x の極限を含む
広義積分であることに注意して。

回答No.1

rabbit_cat

確率変数の置換は累積分布関数を考えるのが定石です。
ただ、なんかパッと見た感じだと、Zは密度関数が存在しないような気もするんですが、そうでもないのかな。（実際に計算していないのでわからない）

とりあえず、
z≧0のとき
P[Z≦z] = P[X/(X-Y)≦z]
= P[X<Y] + P[Y≦(1-1/z)X]
= 1/2 + ∫_[0→1] dx∫_[0→max(0,(1-1/z)x)] dy
かな。
z≦0も同様にして求めて、
P[Z≦z]を、zで微分すれば密度関数になる。