大学の期末テスト助けてください

質問

円柱面x^2+z^2=a^2　ー(1)で、楕円柱x^2/a^2+y^2/b^2=1　ー(2)の内部にある部分の曲面積を求めよ。
(1)よりfx(x,y)=-x/√(a^2-x^2)
　　　　fy(x,y)=0
(2)よりx/a=rcosθ→ｘ=arcosθ
　　　　y/b=rsinθ→y=brsinθ
ヤコビアンＪ＝abr

∬√{1+(fx)^2+(fy)^2}dxdy=∬a/√(a^2-x^2)dxdy
=

ここからの解き方がわかりません
積分範囲も 0<r<1、 0<θ<2πでやろうとしましたが、どうもできませんでした。
この解き方があっているかどうかもわかりません。

どうかご教授ください。

回答No.2

info222_ · ベストアンサー

>θを0＜θ＜2πにしたとき、
>2∬[E]abr/√(1-r^2*cos2θ）drdθ
>にして、といてもよろしいのでしょうか？

「0<θ<π/2」とするメリットは途中計算で出てくるcosθやsinθの符号が≧0となることです。
0＜θ＜2πでやろうとすると、積分計算の過程でθの範囲による場合分けが発生するなど、計算ミスをする恐れが増加します。
なので、それを把握した上で計算を間違いなくできる自信がおありなら、おっしゃるような一括範囲で積分を進めてもよいでしょう。
でも積分はできるだけシンプルな計算にして計算をした方が賢明だと思うよ。

お礼

大変ご丁寧にありがとうございました。

回答No.1

info222_

a>0,b>0とする。

曲面はｘｙ座標面（z=0）にたいして面対称なので
z≧0の方の曲面の面積の２倍となる。
z=f(x,y)=√(a^2-x^2)
fx=-x/√(a^2-x^2), fy=0

D={(x,y)|x^2/a^2+y^2/b^2≦1}
S=2∬[D]√{1+(fx)^2+(fy)^2}dxdy=2∬[D] a/√(a^2-x^2)dxdy

対称性から
D'={(x,y)|x^2/a^2+y^2/b^2≦1,x≧0,y≧0}
S=8∬[D'] a/√(a^2-x^2)dxdy

x=arcos(t), y=brsin(t) (0≦r≦1, 0≦t≦π/2)
D'⇒E={(r,t)|0≦r≦1, 0≦t≦π/2}
dxdy=|J|drdt=abrdrdt
a/√(a^2-x^2)=1/√（1-r^2*cos^2(t)）

S=8∬[E] abr/√（1-r^2*cos^2(t)）drdt
=8ab∫[0,π/2] dt∫[0,1] r/√（1-r^2*cos^2(t)）dr
=8ab∫[0,π/2] 1/(1+sin(t)) dt
=8ab[-(2ab(1+cos(t)))/(1+sin(t)+cos(t))][0,π/2]
=8ab …(答)

補足

θの範囲が0＜θ＜π/2としたとき、
8∬[E]abr/√(1-r^2*cos2θ）drdθならば、

θを0＜θ＜2πにしたとき、
2∬[E]abr/√(1-r^2*cos2θ）drdθ
にして、といてもよろしいのでしょうか？