平面波の式を楕円の方程式に変形する方法

質問

Ex=Acos(ωt+φx)
Ey=Bcos(ωt+φy)
(Ex、Eyは電界、φx、φyは位相、位相差をφ=φy-φxとする)
この式を変形して楕円の方程式が得られることを証明するのが目標です。

φx=0の場合は加法定理で展開して
Ex=Acosωtcosφx-Asinωtsinφx=Acosωt…(1)
Ey=Bcosωtcosφy-Bsinωtsinφy…(2)

(2)に(1)を代入して変形していき、

(Ex/A)^2-2ExEycosφy/AB+(Ey/B)^2=(sinφy)^2

と、楕円の方程式にできたのですが、
φxがあるとうまくωtを消すことが出来ません。
そこで質問です。
φx=0とした場合、φ=φy-0でつまりφ=φyとなるので、
このφx=0とした場合の楕円の方程式のφyをφに代えてφ=φy-φx…（φx≠0）の場合の楕円の方程式とすることはできないでしょうか。
やはりこれでは証明にはならないでしょうか。
ならないようなら式変形のヒントを頂けるとありがたいです。

回答No.2

Knotopolog · ベストアンサー

Ex＝Acos(ωt＋φx)
Ey＝Bcos(ωt＋φy)

の２式を，それぞれ，逆関数をとってωtを消去して，
計算すれば，楕円の方程式になります．
以下，計算過程を並べますので，なんとか読み取って下さい．

arccos(Ex/A)＝ωt＋φx
arccos(Ey/B)＝ωt＋φy

arccos(Ey/B)－arccos(Ex/A)＝φy－φx ＝φ

arccos(Ey/B)＝φ＋arccos(Ex/A)
(Ey/B)＝cos[φ＋arccos(Ex/A)]

(Ey/B)＝cos[φ] * cos[arccos(Ex/A)]
　　　　－ sin[φ] * sin[arccos(Ex/A)]

(Ey/B)＝cosφ * (Ex/A)－ sinφ * sin[arccos(Ex/A)]

一般に，(sinθ)^2＋(cosθ)^2＝1 なので，
sinθ＝±√[1－(cosθ)^2]．したがって，sin[arccos(Ex/A)]は

sin[arccos(Ex/A)]＝±√[1－(cos{arccos(Ex/A)})^2]
sin[arccos(Ex/A)]＝±√[1－(Ex/A)^2]

故に，

(Ey/B)＝cosφ * (Ex/A)－ sinφ * sin[arccos(Ex/A)]
(Ey/B)＝cosφ * (Ex/A)－ sinφ * {±√[1－(Ex/A)^2]}

sinφ * {±√[1－(Ex/A)^2]} ＝cosφ * (Ex/A)－(Ey/B)

両辺を二乗すると，

(sinφ)^2 * [1－(Ex/A)^2] ＝[cosφ * (Ex/A)－(Ey/B)]^2

この後の変形は，お任せします．

お礼

回答ありがとうございます。
今計算しまして、楕円の方程式になることを確認しました。
逆関数はこのように使うことができるんですね。覚えておきます。
計算過程まで丁寧に教えていただきありがとうございました。

回答No.1

hitokotonusi

どのみち消えてしまうものなので、

τ＝ωt+φx

と定義するとδ＝φy-φxと置いて

Ex=Acos(ωt+φx)＝Acos(τ)
Ey=Bcos(ωt+φy)=Bcos(τ-φx+φy)=Bcos(τ+δ)

あとはφx=0の場合と同じ。

お礼

回答ありがとうございます。
まさかωt+φxを置き換えるだけでφx=0の時の同様の式になるとは思いませんでした。
こういうテクニックを身に付けられるようにがんばります。
ありがとうございました。