教えてください！！＞＿＜

質問

放物線ｙ＾２＝４ｐｘの弦ＰＱが、∠ＰＯＱ＝９０°をみたしながら変わるとき、弦ＰＱは定点を通る事を証明せよ。

＜質問＞題意の意味が解りません！
”定点”を通るって言う部分の意味がわかりません
＞＿＜意味を教えて下さい！！

→教科書の解答　
まず、直線ＰＱはｘ軸に平行ではないから、その方程式をｘ＝ｍｙ＋ｎと表す事ができる。

＜質問＞どうしてですか？＞＿＜　今まで、
（１．２）とかの場合はＹ＝Ｍ（ｘ－１）＋２とかにするのはスゴク簡単だったんですけど、
どうやったらｘ＝ｍｙ＋ｎと解るんですか？
平行じゃないから～って書いてあるんですけど、
それだけでどうやってこの式がわかるんですか？

→教科書解答のつづき
よって、ｘ＝ｍｙ＋ｎと表せるので、Ｐ．Ｑのｙ座標は、ｙ＾２＝４ｐ（ｍｙ＋ｎ）　
∴ｙ＾２－４ｐｍｙ－４ｐｎ＝０　（１）
この二つの解、αとβである。　すると
Ｐ（α＾２/４ｐ、α）Ｑ（β＾２/４ｐ、β）である。

<質問です＞
（１）の式まではＯＫだったんですけど、そのあとの
Ｐ（α＾２/４ｐ、α）Ｑ（β＾２/４ｐ、β）はどうやって求めたのか解りません!

→教科書の解答のつづき
よって、ＯＰ、ＯＱの傾きはそれぞれ、4p/α、4p/βでありＯＰ、ＯＱが直交するので
４ｐ/α×４ｐ/β　＝１６ｐ＾２/αβ　＝－１
∴αβ＝－１６ｐ＾２

＜質問です＞　どうして、ＯＰとＯＱの傾きが４ｐ/αと、４ｐ/βってなるんですか＞＿＜？何処からコレはきたんですか??

→教科書の解答の最後。
よって（１）から解と係数の関係により、
αβ＝－４ｐｎであるから
－１６ｐ＾２＝－４ｐｎ　∴ｎ＝４ｐ
よってＰＱの式は、ｘ＝ｍｙ＋４ｐとなり、ｍのいかんにかかわらず、定点（４ｐ、０）を通る。（答）

回答No.2

oyaoya65 · ベストアンサー

＞”定点”を通るって言う部分の意味がわかりません
pに簡単な数値（たとえば1）を与えて、横向き放物線のグラフを描き、適当なＯＰを描きＯＰの直角な直線ＯＱを描いて直線ＰＱを描いてみてください。
さらに直線ＯＰのＰの位置を2通り変えて、同様な直線ＰＱを描いてみてください。
3本の直線がある点で交わるかと思います。この交点が定点で、直線ＰＱを何本描いてもこの定点で交わるということで、角ＰＯＱ＝90°を満たす直線ＰＱの引き方に関係しないということで定点と呼ぶわけです。
pの値を変えると定点の位置もずれます。つまり定点の位置はpの値によって決まる定点ということです。
定点は放物線がx軸対象ですのでx軸上にある点(a,0)ということになりますね。
→PQ:x=my+n→x=my+aと表せる分けです。

＞どうやったらｘ＝ｍｙ＋ｎと解るんですか？
横向き放物線上の異なる2点P,Qを通る直線は絶対にx軸に平行になりません。グラフを描いてみてください。
x軸に平行な直線はy=k（定数）となります。この直線は横向き放物線と一点でしか交わりませんので異なる2点は取れませんね。
m，nを任意の定数とした時、直線
x=my+n
が表せない直線のタイプはm=∞の場合でその表せない直線のタイプがy=k(定数)ですね。
質問の問題ではPQがy=kの直線にならないケースのでそれを除いた直線をすべて表現できる直線の表現形式が
x=my+n
ということですね。

＞Ｐ（α＾２/４ｐ、α）Ｑ（β＾２/４ｐ、β）はどうやって求めたのか解りません!

α,βは
ｘ＝ｍｙ＋ｎ
ｙ＾２＝４ｐｘ◆
の交点P,Qのy座標ですね。
このｙ座標を求める方程式が(1)式ですね。
P点のｙ座標をαとすればQ点のy座標はβとなります。
このP点とQ点のy座標を◆の式に代入すれば
P点とQ点のx座標が求まりますね。

＞どうして、ＯＰとＯＱの傾きが４ｐ/αと、４ｐ/βってなるんですか

Ｏが原点(0,0)です。
P点の座標は（α^2/(4ｐ),α）です。
直線ＯＰを通る直線は原点を通ります。
したがって、ｙ切片はゼロ、
直線OPの傾きはP点のy座標をx座標で割れば出てきます
α÷{α^2/(4ｐ)}=4p/α
同様に、直線OQ傾きはQ点のy座標をx座標で割れば出てきます
β÷{β^2/(4ｐ)}=4p/β

お礼

いつも本当に、ありがとうございます＞＿＜！！

回答No.1

naozou

言葉だけで説明するのは難しいのですが・・・

> ＜質問＞題意の意味が解りません！

pを決めたときに、PQがある一点を必ず通ります。この点をもとめよ、という意味です。もう少し言うと、直角三角形POQはいろいろな形をとれますが、どの斜辺にも共通する点がある、という風にもとれます。

> ＜質問＞どうしてですか？＞＿＜　今まで、

x軸とy軸を交換しただけの直線の方程式です。傾きm、x切片nの直線の方程式です。x軸に平行な線は2点で放物線と交わらないので、三角形ができません。なので、除外できます。

> Ｐ（α＾２/４ｐ、α）Ｑ（β＾２/４ｐ、β）はどうやって求めたのか解りません!

α、βをもとの放物線のyに代入して、xについて解いただけです。

> ＜質問です＞　どうして、ＯＰとＯＱの傾きが４ｐ/αと、４ｐ/βってなるんですか

傾きを出すので、yの変位/xの変位、つまりα/(α^2/4p)です。βも同じ。

お礼

返事書いていただいて、どうもありがとうございました！！　やっとわかりました＞＿＜！！　本当にどうもありがとうございました！！！