数3 媒介変数

質問

x^2/a^2 + y^2/b^2 =1(a＞b＞0)上にOP⊥OQを満たしながら動く2点P,Qがある。ただしoは原点である。

(1)1/OP^2 + 1/OQ^2は一定であることを示せ。
(2)OP×OQの最小値を求めよ。

(2)がわかりません。
教えてください。

回答No.1

上野 尚人（@uenotakato） · ベストアンサー

(1) で 1 / (OP)^2 + 1 / (OQ)^2 = 1/a^2 + 1/b^2 (P,Qの位置によらず一定値) とわかれば，相加平均と相乗平均の大小関係を用いて

(1/2) { 1 / (OP)^2 + 1 / (OQ)^2 } ≧ ( 1 / OP ) ( 1 / OQ )
（等号成立は OP = OQ のとき）

が得られて
(1/2) { (a^2 + b^2) / a^2 b^2 } ≧ 1 / (OP・OQ)
OP・OQ ≧ 2 a^2 b^2 / (a^2 + b^2)
よって最小値は 2 a^2 b^2 / (a^2 + b^2) …（答）
（等号成立は OP = OQ = √ { 2 a^2 b^2 / (a^2 + b^2) } のとき）

お礼

ありがとうございました。
質問した後にコーシー・シュワルツに至ったのですが…それ以前に相加相乗平均ですよね。