高校数学（軌跡、論理）

質問

（問題）Oを原点とする。点Pが円ｘ＾２＋ｙ＾２－２ｘ＋２ｙ－２＝０上を動く時、半直線OP上にあって、OP×OQ=1を満たす点Q の軌跡を求めよ。
（解答）
P（ｘ、ｙ）Q（X,Y)とおくと、ｘ≠０、ｙ≠０（☆）である。
点Qが半直線OP上にある時、ベクトルOQ=ｔOP（ｔ＞０）より、X=tx,Y=tyとおける。
OP×OQ=1より、（ｘ＾２＋ｙ＾２）（X^2+Y^2)=1
ｘ＝X／ｔ、ｙ＝Y／ｔを代入して、整理すると、ｔ＝X^2+Y^2
よって、ｘ＝X／X^2+Y^2、ｙ＝Y／X^2+Y^2。
ｘ＾２＋ｙ＾２－２ｘ＋２ｙ－２＝０に代入して整理すると、
２X^2+２Y^2+2X－２Y－１＝０((1)）
ｘ＝０またはｙ＝０の時（★）の（X,Y)を求めると、それらは(1)をみたす。
よって、軌跡は２ｘ＾２＋２ｙ＾２＋２ｘ－２ｙ－１＝０
（疑問）
☆の部分について、ｘ≠０、ｙ≠０はｘ≠０かつｙ≠０のことですが、これはOQ=ｔOPで半直線上の任意のQを表すためにｘ≠０かつｙ≠０としているのですよね？（そうでないと、０では表せない）
★について、ｘ≠０かつｙ≠０としているので、その部分がQではそうなるのか？を解答の最後で調べているのですが、なぜ、ｘ＝０またはｙ＝０としているのでしょうか？ためしに、ｘ＝０．ｙ＝０で調べたら、最後の式は成り立たないのですが、どういうことですか?

回答No.2

yyssaa · ベストアンサー

補足
（い）では、（I）ｘ≠０かつｙ＝０、（II）ｘ＝０かつｙ≠０（III）ｘ＝０かつｙ＝０という状況では成り立つかどうかというのが解答者さんのお答えですね。
＞ｘ＝０かつｙ＝０はあり得ないからｘ≠０かつｙ≠０を前提としたのであり、
確認すべきはｘ≠０かつｙ＝０とｘ＝０かつｙ≠０だからｘ＝０またはｙ＝０
としたと思われる。

お礼

ありがとうございました。どうかまたおつきあいください。

回答No.1

yyssaa

（疑問）
☆の部分について、ｘ≠０、ｙ≠０はｘ≠０かつｙ≠０のことですが、
これはOQ=ｔOPで半直線上の任意のQを表すためにｘ≠０かつｙ≠０としているのですよね？（そうでないと、０では表せない）
＞円ｘ＾２＋ｙ＾２－２ｘ＋２ｙ－２＝０は原点(0,0)を
通らないからPも原点にくることはないので、ｘ≠０かつｙ≠０（☆）
を前提としたということ。
★について、ｘ≠０かつｙ≠０としているので、その部分がQではそうなるのか？を解答の最後で調べているのですが、
なぜ、ｘ＝０またはｙ＝０としているのでしょうか？ためしに、ｘ＝０．ｙ＝０で調べたら、
最後の式は成り立たないのですが、どういうことですか?
＞ｘ≠０かつｙ≠０（☆）を前提として(1)を得たので、x=0かつy≠0
及びx≠0かつy=0で(1)が成り立つことを確認したということ。
ｘ＾２＋ｙ＾２－２ｘ＋２ｙ－２＝０でx=0のときy=-1±√3
OP×OQ=y*Y=1だからY=1/(-1±√3)
X=0,Y=1/(-1+√3)を(1)の左辺に代入すると
2X^2+2Y^2+2X-2Y-1=2Y^2-2Y-1
=2{1/(-1+√3)}^2-2{1/(-1+√3)}-1
=1/(2-√3)-2/(-1+√3)-1
={(-1+√3)-2(2-√3)-(2-√3)(-1+√3)}/{(2-√3)(-1+√3)}
=(-1+√3-4+2√3-[-2+2√3+√3-3)/{(2-√3)(-1+√3)}=0
で(1)が成り立つ。
y=-1-√3のときはY=1/(-1-√3)=-1/(1+√3)
X=0,Y=1/(-1+√3)を(1)の左辺に代入すると
2Y^2-2Y-1=2{1/(-1+√3)}^2-2{1/(-1+√3)}-1
=1/(2-√3)-2/(-1+√3)-1
={(-1+√3)-2(2-√3)-(2-√3)(-1+√3)}/(2-√3)(-1+√3)=0
で(1)が成り立つ。
なお、x=0かつy=0はあり得ないので、(1)は成り立たない。

お礼

補足を付け加えた後に気が付いたので、ここに書かせてください。合っているかどうか教えてください。
論理の流れですが、（あ）ｘ≠０、ｙ≠０という状況のもとでしか成り立たない、２X^2+２Y^2+2X－２Y－１＝０((1)）という方程式を得た。（い）そうでなければ成り立たないのか?他の状況はどうか?（ｘ＝０かつｙ＝０の否定）を確認する→ｘ＝０またはｙ＝０という状況ではどうか？を調べる。（III）ｘ＝０かつｙ＝０のときの（X.Y)＝（０，０）はそもそも方程式を満たさないので、軌跡上の点ですらないので気にしなくてよい
ということでしょうか？

補足

（あ）ｘ≠０、ｙ≠０という状況のもとで、２X^2+２Y^2+2X－２Y－１＝０((1)）という方程式が成り立つことが分かっている
（い）では、（I）ｘ≠０かつｙ＝０、（II）ｘ＝０かつｙ≠０（III）ｘ＝０かつｙ＝０という状況では成り立つかどうかというのが解答者さんのお答えですね。
これを問題集の解答ではｘ＝０またはｙ＝０ということで表しているのだと思うのですが、これはｘ≠０かつｙ≠０の否定ということだと思うのですが、これは偶然の一致ですか？
必然ならば、なぜ一致しているのか教えてくださいませんか?（論理に疎いので、ピンときませんごめんなさい）