範囲分け

質問

放物線ｙ＝ｘ＾２上の点Ｐで、ｙ軸上の点Ａ（０.a)からもっとも近いものを求めよ。

誰かこの問題を解りやすく、丁寧に教えてください！

回答No.5

mister_moonlight · ベストアンサー

ごめんなさい、入力ミスです。

(1)(2a-1/2)＞0のとき、が誤りです。

正しくは、(1)(2a-1)/2＞0のとき、です。

お礼

ありがとうございました！！

回答No.4

math_road

答えはＰ(±√(a-1/2),a-1/2)で合ってましたね。
違う！と思ったかもしれませんが、
Ｐ(±√(a-1/2),a-1/2)→Ｐ(±√{(2a-1)/2},(2a-1)/2)で同じです。

範囲のところをミスしました、すいません。
それは2a-1<0の時と2a-1≧0の時の場合分けですね。
2a-1というのはルート内の数字で、0より小さいことはない、
そこで場合わけということですね。
よって

a<1/2の時　
P(0,0)

1/2≦aの時
Ｐ(±√{(2a-1)/2},(2a-1)/2)

微分なしになると、点と直線の距離の利用がありますが、
そちらの回答だと四乗が出てきたりして厄介なんですよね。
点と直線の距離の解法とあわせて、色々考えて見て、良いのがあったらまた書きます。
力に慣れなくて申し訳ない。

お礼

ありがとうございました！！

回答No.3

mister_moonlight

Ｐ(α、α＾2)とすると、Ｌ＾2＝(ＰＡ)＾2＝(α)＾2＋(α＾2-a)＾2＝α＾4-(2a-1)α＾2＋a＾2.
α＾2＝tとすると、t≧0で、Ｌ＝{t-(2a-1)/2}＾2＋(4a-1)/4。

ここで、t≧0であるから場合わけが必要になります。

(1)(2a-1/2)＞0のとき、t＝(2a-1)/2のときに最小で、Ｌの最小値は{√(4a-1)}/2.
(2))(2a-1)/2≦0のとき、t＝0のときに最小で、Ｌの最小値は｜a｜.

お礼

ありがとうございました！！

回答No.2

math_road

放物線を微分をするとy'=2xとなり、
放物線上の任意の点をとりあえずＰ(t,t^2)と置いてみます。
この点上の接線はy-t^2=2t(x-t)→2tx-y-t^2=0となり、
この接線の点Ｐ上における法線が-x/2t-y+1/2+t^2=0となります。
この法線が点Ａを通る時がＡＰの距離が最小になると思われます。
(0,a)を代入してみると、t^2=a-1/2→t=±√(a-1/2)
ゆえにＰ(±√(a-1/2),a-1/2)となると思います。
もし答えが違ったらこの方法or自分の計算が間違っているので、すいません。

補足

答えは
a<１/２の時　
P(０.０)

１/２≦aの時
Ｐ(±√(２ａ-１)/２ , (２a-１) / ２)
みたいです。

どんな考え方か不明なのは、
a<1/2の時ってのと、1/2≦aの時と二つ分けてるみたいな？考えかたがわかりません。。

あと微分は使わずに解く問題です！！

回答No.1

BLUEPIXY

点Ｐ（x,x^2)
点Ａ（0,a)
で２点間の距離（の二乗）が最小になるように求めるといいじゃないかな

補足

ごめんなさい、このもんだい、ゼンゼン解らないので、全部丁寧に教えてくれると嬉しいです！！