放物線とx軸の共有点の存在範囲

質問

放物線y=x^2-8ax-8a+24がx軸の正の部分と異なる2点で交わる時、定数aの値の範囲を求めよ。

答え 1＜a＜3

お世話になります。
x軸の正の部分と異なる2点で交わる時ということですのでy軸かx軸の負の部分に交わればよいということなのでしょうか？
解き方の解説をおねがいします。

回答No.3

noname#21330 · ベストアンサー

まず、x^2-8ax-8a+24の解は、
4a±2√(4a^2+2a-6)
4a^2+2a-6を因数分解すると、
2(2a+3)(a-1)
これが２個解を持つ条件は
a>1---(1)　または　a<-3/2---(2)

次に解が２個ともプラスの条件は
4a+2√(4a^2+2a-6)>0 ---(3)
4a-2√(4a^2+2a-6)>0 ---(4)
の両方が成立する時
(4)より、a>0---(5)
また(4)を移項すると、
4a>2√(4a^2+2a-6)
両辺を２乗すると、
16a^2>16a^2+8a-24
24>8a
3>a---(6)

(1)(2)(5)(6)
より、
1＜a＜3

お礼

2度もご回答くださり有難う御座います。
大変よく分りました。

回答No.4

noname#21330

すみません。説明不足でした。
y=x^2-8ax-8a+24がx軸の正の部分と異なる2点で交わる時は、x^2-8ax-8a+24=0が２個の解を持ち、その解が両方正の時です。
x^2-8ax-8a+24が、x軸と交わるのは、y=0の時なので、
x^2-8ax-8a+24=0
を解き、その解がx軸との交点だからです。

回答No.2

debut

問題は、ｘ軸と異なる２点で交わり、しかもどちらも正
になるという意味なので、下に凸の放物線だから、ｙ軸
もｘ軸も正の部分で交わります。

そのようになる条件は
・頂点のｘ座標が正
・頂点のｙ座標が負
・ｘ＝０のときｙは正
です。
式は、y=(x-4a)^2-16a^2-8a+24と平方完成できるから、
頂点は(4a、-16a^2-8a+24)です。

上の条件を式で表すと、
・4a＞0より、a＞0・・・(1)
・-16a^2-8a+24＜0から、2a^2+a-3＞0、(2a+3)(a-1)＞0で
　　a＜-3/2、1＜a・・・(2)
・x=0のときy=-8a+24だから、-8a+24＞0より、a＜3・・・(3)

(1),(2),(3)の共通部分で、1＜a＜3

回答No.1

shaki_shaki

問題文の解釈ですね。

質問者さんの解釈は、
　「x軸の正の部分と異なる」（部分の）2点で交わる
問題の趣旨は、
　「x軸の正の部分」と「異なる2点」で交わる
でしょうか。

お礼

ご回答有難う御座います。
ご指摘のとおりです。