空間図形の問題で教えてください

質問

資格の過去問を解いていて
途中でつまってしまいました。どなたかご教授ください。
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xyz空間において、次の式で表される球Sと直線Lがある。
球S (x-1)~2＋(y+1)~2＋(z-2)^2=4
直線L　(x-3)/6=(y+1)/a=(z+1)/-3　(a>0)
いま、球Sと直線Lが接しているとき、定数aの値はいくらか。
選択肢１・・・２
選択肢２・・・３
選択肢３・・・４
選択肢４・・・６
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直線Lの方向ベクトルはL=(6,a,-3)。
直線Lと球Sの接点をAとおくとA=(3,-1,-1)+k(6,a,-3)=(6k+3,ak-1,-3k-1)。
球Sの中心は球S上の点なので(6k+2)~2＋(ak)~2＋(-3k-3)^2=4・・・(1)
球Sの中心と点Aを結ぶベクトルNは、N=(6k+2,ak,-3k-3)。
直交するので内積は0。よって
(6,a,-3)・(6k+2,ak,-3k-3)=0
(a~2+45)k+21=0・・・(2)

ここまでは出せました。
解説をみると、(2)を(1)に代入してkを消去し、答えはa=2となると
あります。
教えていただきたいところは、
(2)を(1)に代入するところです。
kを消去ということは、k=-21/(a^2+45)　に変形して
(1)に代入すると思ったのですが、式が煩雑になって答えが出せませんでした。
私の考えどおりKを代入して根気良くやるのが良いのか(考えがあっていればですが)
試験の問題ですので別に短時間で解法があれば教えていただきたいです。

回答No.1

owata-www · ベストアンサー

(1)
(6k+2)~2＋(ak)~2＋(-3k-3)^2=4
→(36k^2+24k+4)+(a^2k^2)+(9k^2+18k+9)=4
→(45+a^2)k^2+42k+9=0
→-21k+42k+9=0　(∵(a~2+45)k+21=0より、(45+a^2)k^2=-21k)
→k=-3/7
→(a~2+45)k+21=0に代入
→a^2=4
→a>0よりa=2

以上、ちょっとは楽になるかと

お礼

無事できました。
だいぶ楽になりました。
ありがとうございました。

回答No.2

mister_moonlight

＞教えていただきたいところは、(2)を(1)に代入するところです。

単純な計算なんだけどな。

(1)は計算すると、(45+a^2)k^2+42k+9＝0.　又、(a＾2+45)k+21＝0。
a＾2+45＝mとすると、2式は　mk^2+42k+9＝0、mk＝-21.
k＝-21/mを　mk^2+42k+9＝0　に代入すると、m＝a＾2+45＝49. a＞0よりa＝2.

見通しが悪ければ、置き換えで簡単になる。これは、全ての計算で言える事。

お礼

無事できました。
これを機に置き換えを意識してみたいと思います。
ありがとうございました。