微分積分の問題でご質問です。

質問

f(x)=x-√(ｘ^2-4)　(x≧2)　が与えられている。

１）x＞2のとき、f(x)の導関数ｆ’(x)を求めよ。
　　また、f’(x)が常に負であることを示せ。

２）f(x)のとり得る値の範囲を求めよ。

３）y=f(x)をxについて解いたものを　x=g(y)とする。
　　g(y)を求めよ。

４）曲線y=ｆ(x)　と　2直線x=2、y=1で囲まれた図形の面　　積を求めよ。

大変申し訳ございません。
１）の導関数しか出せず、それ以外はお手上げ状態でございます。解法等教えていただけるとありがたいです。どうぞよろしくお願い申し上げます。

回答No.2

endlessriver · ベストアンサー

(1)f'(x)=1-x/√(ｘ^2-4)を確認しておきます。
f'<0は x^2>x^2-4(x>2)から導かれます。

(2)f' は負だから単調減少関数でf(2)が最大で、lim x→∞f(x) で最小です。値の範囲は (lim x→∞f(x),f(2)] となります。
ただし、x=2で微分不可能ですからf(x)がx>=2で右連続（左？忘れたm(_ _)m）であることを注意しておきます。（f(x)変形から直接求める方法もあり）

(3)は(y-x)^2を計算します。（この辺は定石なので暗記）

(4)　f(x)は単調減少なのでy=1の交点は１ヶ所でこれをx=bとすれば∫[2,b](f(x)-1)dx を計算すれば良いです。

補足

早速のご回答ありがとうございます。

(1)
f'<0が、 x^2>x^2-4(x>2)からどういうふうに導き出せるのでしょうか。

(2)
最大は出せたのですが、最小のlim xの出し方はどうすればよいのでしょうか。答えが0になったのですが・・・
後、ただし～からをもう少し具体的にご説明いただけませんでしょうか？

(3)
答えが、x=y/2＋2/y　になったのですが、正しいでしょうか。

(4)
x=bにして定積分として答えが文字になりませんか？
後,f(x)-1の-1にするのは、どういうことでしょうか？

わからないことだらけでご迷惑お掛け致しますが、どうぞ
よろしくお願い致します。

回答No.1

hegemonism

1)についてのみ
f'(x)はどうなりましたか？１）の導関数しか出せずとありましたので少なくとも結果は書きましょう。
書かれていないので何ともいえません。

補足

早速のご回答ありがとうございます。

f'(x)=1-x/√(x^2-4)

です。
よろしくお願い致します。