３次関数の微分、接線の問題について

質問

『 曲線y＝x^3 ＋ax ＋b が２直線 y＝2x -2　,y＝2x ＋2に接するように、定数a,bの値を定めよ。』

という問題なんですが、

f'(t)＝2
f(t)＝t^3 ＋at ＋b

という式からtを消去すれば、aとbの関係式が導けるのでは？という方針でやっているのですがうまくいきません。そもそも方針が間違っているのでしょうか？

解法についてアドバイスをいただけないでしょうか？
よろしくお願いします！

回答No.2

Rossana · ベストアンサー

>また、もう一つの接線y＝2x ＋2については、これとf
>(x)との接点は(1)とは別なので、tとは別に文字をおく
>必要があるのか？
もちろんYes.
変数sを用いて方程式を作ります．
すると合計4つの方程式が出てきます．
変数はs,t,a,bの4つなので求まりますね．

お礼

t=-1,s=1,a=-1,b=0
ときれいに答えが出ました！

ご回答ありがとうございました！

回答No.4

pyon1956

No.3です。
追加ですが
f'(x)=2を満たす数はふたつあって、
一方をs,もう一方をtとしたとき、
f'(x)の形から、s=-tです。

お礼

こちらの解き方でもきちんと答えが出そうですね、、。
ご回答ありがとうございました！

回答No.3

pyon1956

f'(x)=3x^2+aより、f'(t)=2を満たすtを考える。
これは2次方程式だから2つの解をもつ。
その小さいほう（負の方）が
t^3+at+b=2t+2を満たし、
その大きいほう（正のほう）が、
t^3+at+b=2t-2を満たす。
という方針ではどうかな？

お礼

ご回答ありがとうございます！
一応、最初の解き方で解くことができたので、アドバイスにあった解き方は次回参考にさせていただきたいと思います☆

ありがとうございました！

回答No.1

nanakin

方針がどうとか、、そのレベルではないのでアドバイスどまりです。
まず、f(x)と置いていますが、何をそれにおいているのかも明示
しないので質問しないようにしましょう。

それはさておき・・・・
接線問題の思いつく解法を挙げておきましょう。

(1)曲線と直線の接する条件を「重解」に求める方法。
(2)曲線の接線を求めて、必要な直線に一致させる方法。

(1)の場合は重解を判別式"D=0"で求めるのが普通です。しかし
　言うまでも無くこれは曲線が二次関数の場合のみになります。
今回は(2)で解くのが良いでしょう。

手順としては・・・・・
ⅰ　f(x)=y=x^3 ＋ax ＋b　と置く。
ⅱ　x=tに於ける接線を求める。
ⅲ-a　接線がy＝2x -2と一致すること（係数に着目）より条件式(1)を求める。
ⅲ-b　同じくy＝2x +2より条件式(2)

ⅳ　条件式(1)(2)よりa,bを求める。
以上。

お礼

私もそういった方向で途中まで書いたのですが、
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f(x)=x^3 ＋ax ＋b　とおくと、
f'(x)=3x^2 ＋a

x=tにおける接線の方程式は

y=(3t^2＋a)x ＋(-2t^3 ＋b)
となり、これがy＝2x -2と一致することより以下のようになる。

3t^2 ＋a=2　----(1)
-2t^3 ＋b=-2 ----(2)

-----------------------------------------------

とここまで書いたところで、
『(1)はtについての２次式、(2)は３次式なのでこれではtは消去できそうにない。
また、もう一つの接線y＝2x ＋2については、これとf(x)との接点は(1)とは別なので、tとは別に文字をおく必要があるのか？』

という風に考えがとまってしまいました、、。

この方向でいいのでしょうか、、。