微分積分の問題でご質問です。

質問

f(x)=x-√(ｘ^2-4)　(x≧2)　が与えられている。

１）x＞2のとき、f(x)の導関数ｆ’(x)を求めよ。
　　また、f’(x)が常に負であることを示せ。

２）f(x)のとり得る値の範囲を求めよ。

３）y=f(x)をxについて解いたものを　x=g(y)とする。
　　g(y)を求めよ。

４）曲線y=ｆ(x)　と　2直線x=2、y=1で囲まれた図形の面　　積を求めよ。

大変申し訳ございません。
１）の導関数しか出せず、それ以外はお手上げ状態でございます。解法等教えていただけるとありがたいです。どうぞよろしくお願い申し上げます。

回答No.2

endlessriver · ベストアンサー

(1)f'(x)=1-x/√(ｘ^2-4)を確認しておきます。
f'<0は x^2>x^2-4(x>2)から導かれます。

(2)f' は負だから単調減少関数でf(2)が最大で、lim x→∞f(x) で最小です。値の範囲は (lim x→∞f(x),f(2)] となります。
ただし、x=2で微分不可能ですからf(x)がx>=2で右連続（左？忘れたm(_ _)m）であることを注意しておきます。（f(x)変形から直接求める方法もあり）

(3)は(y-x)^2を計算します。（この辺は定石なので暗記）

(4)　f(x)は単調減少なのでy=1の交点は１ヶ所でこれをx=bとすれば∫[2,b](f(x)-1)dx を計算すれば良いです。

補足

早速のご回答ありがとうございます。

(1)
f'<0が、 x^2>x^2-4(x>2)からどういうふうに導き出せるのでしょうか。

(2)
最大は出せたのですが、最小のlim xの出し方はどうすればよいのでしょうか。答えが0になったのですが・・・
後、ただし～からをもう少し具体的にご説明いただけませんでしょうか？

(3)
答えが、x=y/2＋2/y　になったのですが、正しいでしょうか。

(4)
x=bにして定積分として答えが文字になりませんか？
後,f(x)-1の-1にするのは、どういうことでしょうか？

わからないことだらけでご迷惑お掛け致しますが、どうぞ
よろしくお願い致します。

回答No.12

debut

こんにちは。

＞いきなり、x^2>x^2-4(x>2)という式から始めてよいのでしょうか？

　　これは、１－ｘ/√(ｘ^2－４)の２項目の分子と分母のそれぞれ２乗の形を見越して作った
　　ものですから、特に入れなくてもいいような気がしますが、私なら、
　　「ここで、ｘ^2とｘ^2－４において」を書くくらいですね。

　　不等式の証明　Ａ＞０，Ｂ＞０で、Ａ^2＞Ｂ^2ならばＡ＞Ｂである　という考えが
　　流れを作っているので、暗黙の了解という感じですかね。

回答No.11

debut

どちらでやっても　-5/4+2log2 になりますよ。また、log2はそのまま使って結構です。

＞まず部分積分で、∫√(x^2-4)dx=(x^2-4)^1/2・・
　　が違っています。この部分はNo7に書いた式になります。

＞理系数学でどれくらいのレベルなんでしょうか？
　　もし、(3)がなければ、あるいは私がやったように逆関数に気づかなければ(4)の積分は
　　そうとう難しいです。

補足

お返事遅くなりまして、申し訳ございませんでした。
おかげで全体的に理解できたんですが、一点だけ

>(1)f'<0が、 x^2>x^2-4(x>2)からどういうふうに導き出せるのでしょうか。

のところで、f'<0を証明するのに、いきなり、x^2>x^2-4(x>2)という式から始めてよいのでしょうか？
なにか証明的につながりが不自然の気もするのですが、文章とかいれなくても大丈夫でしょうか？

回答No.10

debut

なるほど。ちょっと頭がかたかったでした。endlessriverさん、good!

No6の（４）の後半部分やNo7は、極々参考にとどめてください。

そっかー。

補足

たびたびご回答ありがとうございます！お二人からご親切な解法をいただき申し訳ないです。
no.6のアドバイスより一通り解いてみました。

最後の(4)の部分なんですが、
endlessriverさんの解法でしましたら、
-4/5+2log2

debutさんの解法でしましたら、
まず部分積分で、∫√(x^2-4)dx=(x^2-4)^1/2になりまして、それを代入して定積分しましたら、
17/8　になるんです。

どちらも私の計算ミスでやり方間違ってるんでしょうか・・

ちなみに、この問題の出所が不明なんですが、理系数学でどれくらいのレベルなんでしょうか？旧帝大とか？早慶？
実はもっと低かったり＾＾；；；

回答No.9

endlessriver

たびたびおじゃまします。
(3)でなぜ逆関数x=g(y)をもとめているか？　(4)の面積を求めることはx=g(y),x=2,y=1で囲まれた面積を求めることと同じですから
∫[1,2](g(y)-2)dy　となりとても簡単になります。
y=f(x)とy=1の交点を求める必要もありません。

補足

たびたびご回答ありがとうございます！非常に感謝しております。
no.8からのアドバイスも読んでですが、
(1)
相加相乗平均でも解いてみましたが、こちらは非常にあっさりしていますね、こんな簡単にできるんですね！

(3)
グラフを書いて大体のイメージができました＾＾
すごいですね、発想を変えて、y軸をx軸と見たてて計算するためにがあったんですね。逆関数っていう分野でしょうか。

(4)
一応それで問（4）を解いたんですが、
-4/5+2log2　という答えになったんですが　

log2って解として使えるんでしょうか。
というか、私の計算ミスとか＾＾；

回答No.8

endlessriver

＃２の応答について
>(1)f'<0が、 x^2>x^2-4(x>2)からどういうふうに導き出>せるのでしょうか。
　両辺にルートを取って x>√(ｘ^2-4) (>0)から左辺で両辺を割れば x/√(ｘ^2-4)>1 この右辺を左辺に移動すると、左辺はf ' となり。　0>f ' となっている。

>(2)最大は出せたのですが、最小のlim xの出し方はどうす>ればよいのでしょうか。答えが0になったのですが・・・
　＃４の方のとおりで０でよいです。

>後、ただし～からをもう少し具体的にご説明いただけませ>んでしょうか？
　済みません。考えすぎでした。ここは無視して下さい。

>(3)答えが、x=y/2＋2/y　になったのですが、正しいでし>ょうか。
　正しいです。

>(4)x=bにして定積分として答えが文字になりませんか？
　f(x)=1となる交点のx座標の値をbとするといだけで意味はありません。

>後,f(x)-1の-1にするのは、どういうことでしょうか？
　f(x)とy=1で囲まれた部分の面積ですから。グラフを書いてみると判るかもしれません。

補足

お返事遅くなりまして、申し訳ございませんでした。
おかげで全体的に理解できたんですが、一点だけ

>(1)f'<0が、 x^2>x^2-4(x>2)からどういうふうに導き出せるのでしょうか。

のところで、f'<0を証明するのに、いきなり、x^2>x^2-4(x>2)という式から始めてよいのでしょうか？
なにか証明的につながりが不自然の気もするのですが、文章とかいれなくても大丈夫でしょうか？

回答No.7

debut

No4です。
　∫√(x^2-4)dx の計算ですが、これは別に取り出して計算しておいた方がよいです。
　部分積分を使うのですが、不定積分は 1/2[x√(x^2-4)-4log{x+√(x^2-4)}]＋C と
　なります。参考までに。じゃあ、頑張ってください。

回答No.6

debut

No4です。
（１）分母を通分すると、分子は √(x^2-4)-x となっていますよね。そこで、相加平均・相乗平均
　　　の式 (a+b)/2≧√ab で、a=x+2,b=x-2 とすれば(x+2+x-2)/2≧√(x+2)(x-2)となり
　　　計算して→x≧√(x^2-4)→√(x^2-4)-x≦0 となります。
（２）正しいです。
（３）正しいです。（または通分してx=(y^2+4)/2y）
（４）x=2のときy=2となって、x軸の正の方向へ徐々に減少していくグラフを簡単にかいて
　　　みてください。すると、どこが問われている部分かわかると思います。
　　　積分範囲は２から、グラフでy=1となるx（(3)でy=1としてx=5/2）までで、曲線部分－長方形
　　　（積分範囲でy=1とx軸に囲まれた部分）を積分すればよいことになるから、∫{f(x)-1}dx
　　　なのです。つまり、この式の中の1というのはy=1のことです。
　　　ただ、∫√(x^2-4)dxの計算は簡単ではないようです。

回答No.5

SariGEnNu

No3のサリジェンヌです。
早とちりで大変失礼しました。
微分まではしなくてよいということでしょうか。
てっきり微分の問題集だと思っていました。
私は，数学があまり得意でないので，お邪魔しました。

回答No.4

debut

（１）導関数を通分し、ｘ＞２より分母＞０で、分子に相加平均≧相乗平均を、一方をｘ＋２，
　　　他方をｘ－２として適用する。
（２）f(x)は単調減少だから、f(2)が最大になる。
　　　最小はｘ→∞としたときのlim f(x)を求める。このとき、{x+√(x^2-4)}/{x+√(x^2-4)}
　　　をf(x)にかければ簡単に求まります。
（３）√(x^2-4)とyを移項して両辺を２乗する。
（４）積分範囲は、２から(3)のyを１にしたときの値までで、∫{f(x)-1}dxを計算する。

補足

早速のご回答ありがとうございます。

(1)
相加平均≧相乗平均の公式はわかるのですが、具体的にどういうふうに適用するのでしょうか？数式を書いていただければありがたいです。

(2)
最大は２と出せたのですが、最小のlim xで、{x+√(x^2-4)}/{x+√(x^2-4)}をかけて出したら、答えが0になったのですが・・・正しいでしょうか？

(3)
答えが、x=y/2＋2/y　になったのですが、正しいでしょうか？

(4)
申し訳ございません。全般的にどういうことなのか教えていただけないでしょうか・・・なぜそういうふうに計算するのかよくわかりません・・・

わからないことだらけでご迷惑お掛け致しますが、どうぞ
よろしくお願い致します。

回答No.3

SariGEnNu

3)については，おそらく逆関数の微分を詳しく調べたらよいかと思います。
私が学生の頃は
　「微分のことは微分でやりましょう」
と言う格言がありました。

補足

早速のご回答ありがとうございます。

逆関数の微分？とはどういうことでしょうか？
この問題で微分をする必要あるのでしょうか。

よろしくお願い致します。