この答えの意味を教えてください

質問

int((x^2)*ln(sin(Pi*x)),x=0..1/2);

上の問題の答えが下の長いのになるようですが、どこからどこまでが答えか分かりません。
結局答えが何なのか分かる方が居ましたら、分かりやすく教えてください。
上の問を分かりやすく書くと

∫[0, 0.5] ( (x^2)*log(sin(πx)) )

です。答えが違うようでしたら正しい答えをお願いします。

-1/2880*(-120*ln(2)*Pi^3-53*I*Pi^4+120*ln(1+I)*Pi^3-120*ln(-1/2*I)*Pi^3+2880*polylog(3,-I)*Pi+120*ln(1-I)*Pi^3+5760*I*polylog(4,-I)+2880*polylog(3,I)*Pi+5760*I*polylog(4,I))/Pi^3

回答No.2

migoreng · ベストアンサー

Integrate(x^2 log(sin(πx)), x) を Mathematica で計算すると、
iπ/192 - iπx^4/12 - x^3 log(1 - e^(2iπx))/3 + x^3 log(sin(πx))/3 - (i x^2 polylog(2,e^(-2iπx))/(2π) - (x polylog(3,e^(-2iπx))/(2 π^2) + (i polylog(4,e^(-2i πx))/(4 π^3)
になります。これをf(x)とし、f(0.5)-f(0)を計算すれば、答えが出ると思います。
ちなみに、limit x→0 f(x) = 0 + 0.0250891i,
f(0.5) = -0.00604479 + 0.0250891i
となります。

お礼

ご返信ありがとうございます。とても参考になります。

回答No.3

info22

不定積分は以下のようになります。
(1/192){Iπ-16Iπ(x^4) -64(x^3)ln[1-e^(-2Iπx)] +64(x^3)ln[Sin(πx)]
-(1/π)96I(x^2)polylog(2,e^(-2Iπx) -(1/π^2)96x polylog(3,e^(-2Iπx))
+(1/π^3)48I polylog(4,e^(-2Iπx))} + C

ここで、Iは虚数単位、ln(.)は自然対数、polylog(n,z)は多重対数関数Li<n>(z) (<n>は下付き添え字）、Cは積分定数です。

積分範囲[0,1/2]を入れて定積分とすると積分値は以下のようになります。

(1/48){-ln(4) + (9/π^2) ζ(3)}
≒－0.0060447897295

ここで、zeta関数 ζ(s) sが整数でn＞1のとき
　ζ(n)＝Σ(k:1,∞) k^(-n)
計算の項数が多いので計算を間違わないように計算するよう最新の注意を払うようにしないといけませんね。

（不定積分と数式計算は数式処理ソフトMathematicaを利用しながら計算し、質問者のお使いの記号にできるだけ合わせました。）

お礼

詳しく丁寧な御回答ありがとうございます。とても参考になりました。

回答No.1

ojisan7

その式全部が答えじゃないですか？
Mathematicaで計算したら、そういう、
長い式が帰ってきました。（不定積分で計算しました。）

数値の近似解は、
-0.006044789　+ 6.93889*10^(-18)I　
となっていました。

お礼

早速のご返信ありがとうございます。全部が答えっだったんですね・・・