3次方程式の答え

質問

本の解答があっているか疑ったので、質問します。
問題は、四項からなる等比数列があり、初項が3で、四項の和が19になるという。第２項の値を求めよ。というものです。自分は、
公比rとして、3+3r+3r^2+3r^3=19、 r^3+r^2+r+1=19/3、r^3+r^2+r-16/3=0・・・(1)、カルダノ変換より、
r=X-1/3と置いて(1)をXの２次の項を消して、X^3+(2/3)X-151/27・・・(2)としました。

3√は3乗根をあらわし、。3*√(2537)は3と√(2537)のかけざん、/より2乗(^2)を先に計算するとして。
タルターリャの公式より、
X=3√(151/54+√(151^2/54^2+2^3/9^3))+3√(151/54-√(151^2/54^2-2^3/9^3))・・・(3)
ここで2^3/9^3=8/9*9*9=(8*6*6)÷9/9*9*9*6*6÷9=32/54^2より、√(151^2/54^2+2^3/9^3)=√(22833/54^2)=(3*√2537)/54と計算すると。
X=3√({151+3*√(2537)}/54)-3√({-151+3*√(2537)}/54) 、3r=3X-1より、
3X-1=-1+3*{3√({151+3*√(2537)}/54)-3√({-151+3*√(2537)}/54)}、
=-1+3*3√({151+3*√(2537)}/54)-3*3√({-151+3*√(2537)}/54)、3=3√27より、
=-1+3√({151+3*√(2537)}/2)-3√({-151+3*√(2537)}/2)が自分の答えです。
しかし本の解答では、
-1+3√({151+3*√(2537)}/2)-3√({-151+3*√(2537)}/27)が答えです。どなたか正しい答えを教えてください。おねがいします。

回答No.3

f272 · ベストアンサー

> どなたか正しい答えを教えてください。

実際に3r=-1+3√({151+3*√(2537)}/2)-3√({-151+3*√(2537)}/2)が得られたのなら，それを使って，3+3r+3r^2+3r^3=19になることを確認すればよいだろう。
で，実際にやってみると，あなたの答えで問題ない。

お礼

計算ソフトを使って確かめようと思います。お返事ありがとうございます。

回答No.2

asuncion

＞3=3√27
ここのサイトみたいにべき乗根の小さい文字が書けないところでは、
3 = 27^(1/3)
と書く必要があります。
＞3=3√27
こう書いちゃうと、3 ＝ 3 かける√27
としか読めません。

お礼

表記についての注意ありがとうございます。

回答No.1

asuncion

＞3=3√27より、
これって合ってるんですか？

お礼

お返事ありがとうございます。

補足

3*3*3=27より3=27^(1/3)だから、27の３乗根は3だと思ったんですけど。