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ブロック行列の計算
- ブロック行列の計算において、PとP^(-1)行列を用いて計算を行うことができます。
- また、Π行列を導入することで、Pの時間微分を計算することができます。
- ただし、-・Xの要素については具体的な計算方法は不明です。
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- So_Very_Goo
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問題文について、不明な所があるので、ここに書きます。 問題点（１） 一行目(上の行)の式が、きれいに出ません。与式を計算 したところ、問題文の、下から４・５行目の式や、８・９ 行目の式と違う式になってしまいました。 問題点（２） 行列の微分も曖昧で、問題の説明が不十分です。問題の 文中には、微分の記号の説明しかなく、微分をした数式や、 各要素の関係を示した(微分)方程式が有りません。 それから、下から４・５行目の式で、２行２列(左下)の 要素が ・Y(Yの微分)と書かれています。与式を計算すると、 左下には、X が入るのですが、X や Y の説明なしに、なぜ 突然 X = Yの微分 となるのでしょうか。また、問題文で、 ８行目から、突然 Y = Yの微分 となりますが、なぜでしょ うか。 Π～ Ｐ Π ＝ （ Ｘ Ｍ～ （ Ｘ Ｍ （ Ｘ Ｉ Ｉ ０ ） Ｍ～ Ｗ ） Ｍ～ ０ ） ＝ （ Ｘ＾２ ＋ Ｍ～ ＾２ ＸＭ ＋ Ｍ～ Ｗ （ Ｘ Ｉ Ｘ Ｍ ） Ｍ～ ０ ） ＝ （ Ｘ＾３ ＋ Ｍ～ ＾２ Ｘ ＋ Ｘ Ｍ Ｍ～ ＋ Ｍ～ Ｗ Ｍ～ Ｘ＾２ ＋ Ｍ～＾２ Ｘ＾２ ＋ Ｍ Ｍ～ Ｘ ） また、Ｐ の定義より、 Ｐ ＝ （ Ｙ Ｎ ） Ｐ＾（-１） Ｎ～ Ｚ なので、 Ｐ Ｐ ＝ （ Ｙ Ｎ ） Ｐ＾（-１） Ｐ Ｎ～ Ｚ ＝ （ Ｙ Ｎ ） Ｎ～ Ｚ Ｐ Ｐ ＝ （ Ｘ＾２ ＋ Ｍ Ｍ～ Ｘ Ｍ ＋ Ｍ Ｗ ＝ （ Ｙ Ｎ ） Ｍ～ Ｘ ＋ Ｗ Ｍ～ Ｍ～ Ｍ ＋ Ｗ＾２ ） Ｎ～ Ｚ ですが、この各要素（分割行列）、Ｙ Ｎ Ｎ～ Ｚ を Π～ Ｐ Π に代入すると、 Π～ Ｐ Π ＝ （ ？ ？？？ Ｙ Ｘ ） となります。 上の行の式が、きれいに出ません。与式の計算の結果、 問題文の、下から８・９行目の式とは違う式になってし まいました。 行列の微分も曖昧で、問題の説明が不十分です。問題の 文中には、微分の記号の説明しかなく、微分をした数式や、 各要素の関係を示した（微分）方程式が有りません。 参考までに、 １） １００万 × １００万 の行列、Ａ Ｂ Ｃ を四分割して５０万 × ５０万 の行列のブロックを作っても、積の値は同じです。 Ａ Ｂ ＝ Ｃ ＜---＞ （Ａ１ Ａ２ （Ｂ１ Ｂ２ ＝ （ Ｃ１ Ｃ２ Ａ３ Ａ４） Ｂ３ Ｂ４） Ｃ３ Ｃ４ ） ｃ（ｉｊ） ＝ Σ ａ（ｉｘ） ・ ｂ（ｘｊ） の定義の式で、確認をして下さい。 ２） 行列の微分も、普通の式を積するのと、ほぼ同じです。 （ ｘ１（ｔ） Ｙ１（ｔ） ） ＝ （ ｘ０（ｔ） ｙ０（ｔ） ）（ ｃｏｓ θ（ｔ） -ｓｉｎ θ（ｔ） ｓｉｎ θ（ｔ） ｃｏｓ θ（ｔ） ） この式を微分して、自分で確認をして下さい。
補足
書き方がまずかったです申し訳ありません P:=[Y N] [N~ Z] P^(-1):=[X M] [M~ W] ということです あと教科書には書いてませんでしたが Y Z X Wはそれぞれ対称行列だと思います また逆行列の性質から P^(-1)P=I [X M[Y N]=[I 0] [M~ W][N~ Z] [0 I] XY+MN~=I XN+MZ=0 M~Y+WN~=0 M~N+WZ=I Π~は [X M] [I 0] と転置するとM~がMになると思うんですけど違いますか？ なると仮定して話をすすめると Π~P= [X M][Y N] [I 0][N~ Z]= [XY+MN~ XN+MZ] [ Y N ]= [I 0] [Y N] [I 0][X I] [Y N][M~ 0]= [X I] [YX+NM~ Y]= [X I] [I Y]（YX+NM~=Iは PP^(-1)を計算すれば出ると思います） またPの微分は各成分を時間微分したもので問題ないと思います この微分の関係を示したものはありません ・P= [・Y ・N] [・N~ ・Z] これで話をすすめるとΠ~ ・P Πの _12 _21 _22成分はそれぞれ なるであろう形と合致します
お礼
返事遅れてすみません やっと理解することができました ありがとうございました