奇数からなる群数列の問題

質問

１，３＋５，７＋９＋１１，１３＋１５＋１７＋１９，・・・は、すべて自然数の３乗になっている。この問題を見かけたことがありますか？（なくても、著作権の侵害になりそう、なら削除するべきなのでしょうかね。）
ここで、オリジナルの質問者「若き数学者の卵？」さんに代わって質問します。この問題の分かりやすい「解説」（証明でなくてもいいのです）はありませんか？（私なども、数時間をかけて真夜中までかかって説明したのに、・・・。）
蛇足ながら、（そして、やたらに削除されないように！？）この問題についての私の「解説」を載せますので、ご批評を！ 　使う定理は、
(1)　１＋２＋３＋・・・＋ｎ ＝ ｎ（ｎ＋１）／２
(2)　１＋３＋５＋・・・＋（２ｎ－１） ＝ ｎ^2 　　そうすると、
(3)　「オリジナルの質問者」さんが初めに示した奇数の列について、その１番目の（　　）の中からｎ番目の（　　）の中までの和については、その和の中に１＋２＋３＋・・・＋ｎ＝ｎ（ｎ＋１）／２ 個（定理(1)より）の奇数が入っていますから、定理(2)よりそれらの奇数の和は｛ｎ（ｎ＋１）／２｝^2
(4)　また、ｎ－１番目の（　　）の中までの和についても、同様にして｛ｎ（ｎ－１）／２｝^2
(5)　すると、求めるｎ番目のカッコ（　　）の中の和は、(3)－(4) で ｎ^3 となります。
（・・・それにしても、削除される質問が多すぎるような気もしますが、そんなに著作権違反があるのでしょうか？　それともマナー違反ということ？　解らないから質問するのだし・・・、回答する方もこの質問が著作権違反かマナー違反かとかは、良く判断できませんし・・・。せっかく苦労して回答したのが、何の説明もなくあっさりと削除されてしまうのは、それこそマナー違反？の気もしますが・・・。済みません、愚痴を。あとは削除されないことを祈るのみです。「監視人」さん、お目こぼしを！？！）

回答No.5

mirage70 · ベストアンサー

(1)　１＋２＋３＋・・・＋ｎ ＝ ｎ（ｎ＋１）／２
のみ使えば回答できます。
n番目の先頭の数は、n(n-1)+1ですよね。
n番目にはn個の数字がありますので、
n番目の先頭の数をn倍して、差を足せばよいです。
n{n(n-1)+1}+2{0+1+2+…+(n-1)}=n^3

お礼

なるほど、スマートな解答ですね！ （ただ、最初の「n番目の先頭の数は、n(n-1)+1」というところは、ちょっと説明が要るかもしれませんが。） やはり、「？人寄れば文殊の知恵！」かなぁ？　これなら、中３生さんも分かるでしょうね。（本人も見たようですし・・・。） やはり皆さんで考えると、色々な解き方が見つかるもんです。こういう点が、こうしたサイトの魅力の１つでしょうか。

なお、この問題から、
１^3＋２^3＋３^3＋・・・＋ｎ^3 ＝（１＋２＋３＋・・・＋ｎ）^2
という有名な定理がすぐに導かれます！
また、蛇足ながら、
１＋２＋３＋・・・＋ｎ ＝ ｎ（ｎ＋１）／２
という定理からは、
１＋３＋５＋・・・＋（２ｎ－１）＝ ｎ^2
とか、
１＋２＋３＋・・・＋（ｎ－１）＋ｎ＋（ｎ－１）＋・・・＋３＋２＋１ ＝ ｎ^2
という定理は（すぐに）導くことができます。

こういう数論・整数論というものは、本当に面白いものですよね！
いずれにしろ、ご回答をありがとうございました。

回答No.9

mumchan

肝心な部分がずれて分かりにくいので追加説明を・・・

3+5　　および　　13+15+17+19をＬ字型に並べて（前回を参照），
＿■■＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿■■■■
■◆■＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿■■■■
■■◇＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿■■■■
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿■■■■

＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿■■■■
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿■■■■
＿＿＿＿＿＿＿＿＿■■■■＿■■◆◆■■
＿＿＿＿＿＿＿＿＿■■■■＿■■◆◆■■
＿＿＿＿＿＿＿＿＿■■■■＿■■■■◇◇
＿＿＿＿＿＿＿＿＿■■■■＿■■■■◇◇

上の左の図で，
■■＿＿＿■◆
◆■＿と＿■■＿の重なり部分＿◆＿が＿◇＿の分と考えれば，
２×２の正方形が２個分あるので，
3+5=2^3 がいえる。

また上の右の図で，
■■■■＿＿＿■■◆◆
■■■■＿＿＿■■◆◆
◆◆■■＿＿＿■■■■＿＿＿＿＿＿＿＿◆◆＿＿＿◇◇
◆◆■■＿と＿■■■■＿の重なり部分＿◆◆＿が＿◇◇＿の分と考えれば，

４×４の正方形が４個分あるので，
13+15+17+19=4^3 がいえる。

このように，偶数個（ｎ個）の奇数の和のときは，１辺ｎの正方形ｎ＾２　が　ｎ個
ずつで　ｎ＾３ になることが示される。

また，奇数個（ｎ個）の奇数の和のときは，下の左右の図のように
単純に，１辺ｎの正方形ｎ＾２　が　ｎ個　できるので，ｎ＾３　が導かれる。

＿＿＿＿７＋９＋１１＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿２１＋２３＋２５＋２７＋２９
＿＿＿＿＿■■■＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿■■■■■
＿＿＿＿＿■■■＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿■■■■■
＿＿＿＿＿■■■＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿■■■■■
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿■■■■■
＿■■■＿■■■＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿■■■■■
＿■■■＿■■■
＿■■■＿■■■＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿■■■■■
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿■■■■■
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿■■■■■
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿■■■■■
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿■■■■■

＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿■■■■■＿■■■■■＿■■■■■
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿■■■■■＿■■■■■＿■■■■■
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿■■■■■＿■■■■■＿■■■■■
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿■■■■■＿■■■■■＿■■■■■
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿■■■■■＿■■■■■＿■■■■■

この説明は，
1^3+2^3+3^3+・・・・+n^3=(1+2+3+・・・+n)^2　を図で説明するのにも使われます。

お礼

丁寧に補足をしていただき、ありがとうございました。「奇数個の場合」はもちろん、「偶数個の場合」もよく分かりました！

この図解の場合にも、ｎ^3 ＝ ｎ^2 ＊ ｎ　という形が使われています。式による解説の場合でも、図による解説の場合でも、この ｎ^2 ＊ ｎ　という形が説明しやすいのでしょうかね？

それにしても、１^3＋２^3＋３^3＋…＋ｎ^3 ＝（１＋２＋３＋…＋ｎ）^2　の解説に、この図解が使われるとは知りませんでした！（それは、使えるには決まっていますが・・・。）勉強になりました。ありがとうございました。

回答No.8

mumchan

（１行２１字で入力しました。調整しましたが，一部，横にずれてしまいました。
ワープロソフトにはりつけて，プロポーショナルでない等幅フォントに直してください）

できるだけ式を使わず，説明してみました。

奇数個の□をL字型に並べて
　４＾２　＝１　＋　３　　＋　　５　　＋　　７

□■□■　＝□　＋　■　　＋　　　□　＋　　　■（この行は全角１文字分右に表示）
■■□■　　　　　■■　　　　　　□　　　　　■
□□□■　　　　　　　　　　　□□□　　　　　■
■■■■　　　　　　　　　　　　　　　　■■■■

はご存じでしょうか？
そこで，問題のように奇数を１個，２個，３個，４個とグループにしたものを表すと，
次のようになります。
　　　　　　　　　　　　１＋（３＋５）＋（７＋９＋１１）＋（１３＋１５＋１７＋１９）
□■■□□□■■■■　　□＋　■■　　＋　　 □□□　　＋　　　　　 ■■■■
■■■□□□■■■■　　　　　■■■　　　　　□□□　　　　　　　　　■■■■
■■■□□□■■■■　　　　　■■■　　　　　□□□　　　　　　　　　■■■■
□□□□□□■■■■　　　　　　　　　　□□□□□□　　　　　　　　　■■■■
□□□□□□■■■■　　　　　　　　　　□□□□□□　　　　　　　　　■■■■
□□□□□□■■■■　　　　　　　　　　□□□□□□　　　　　　　　　■■■■
■■■■■■■■■■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　■■■■■■■■■■
■■■■■■■■■■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　■■■■■■■■■■
■■■■■■■■■■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　■■■■■■■■■■
■■■■■■■■■■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　■■■■■■■■■■

さて，ここから先は，奇数個の奇数が集まったグループと，偶数個の奇数の集まった
グループに分けて説明します。

まず，奇数個の奇数のグループの場合です。　　７＋９＋１１　を例にとると
　　　　□□□ （この行は全角１文字分左にずれて表示）
　　　　□□□ （この行は全角１文字分左にずれて表示）
　　　　□□□ （この行は全角１文字分左にずれて表示）

□□□　□□□　　　　　左のように　３×３の組　３個に分けられるので
□□□　□□□　　　　　３×３×３＝３＾３　と自然数(奇数の個数）の３乗になります。
□□□　□□□

つぎに，偶数個の奇数のグループの場合です。
　　　　　　　■■■■　　重なり部分（◆４個）を◇４個で補えば，
　　　　　　　■■■■　　４×４の組が４個分あるのがわかります。
　　　　　　　■■■■　　したがって，４×４×４＝４＾３　が示されます。
　　　　　　　■■■■

　　　　　　　■■■■
　　　　　　　■■■■
■■■■　■■◆◆■■（この行は全角２文字分右にずれて表示）
■■■■　■■◆◆■■（この行は全角２文字分右にずれて表示）
■■■■　■■■■◇◇（この行は全角２文字分右にずれて表示）
■■■■　■■■■◇◇（この行は全角２文字分右にずれて表示）

お礼

手間をかけたご回答を、ありがとうございました。

やはり、「証明」というよりは「説明」というような場合には、こんな風に視覚的に理解させるのが、一番分かりやすいかもしれませんね。「偶数個の場合」はちょっと説明が要りますが、「奇数個の場合」はすっきりと分かります。専門家の方は、こういった解説の仕方を色々とご存じなのでしょうね。

いずれにしろ、分かりやすく親切なご回答をありがとうございました。

回答No.7

nakaizu

オリジナルの質問の方が締め切られているので、こちらに解答を述べます。
まず、中学生にも分かるように説明することは可能です。
8=4+4 ですが、前から1を引き、後に1を足すと
8=3+5 と連続する奇数の和にできます。
同様に
27=9+9+9 の前の項から2を引き、後の項に2を足すと
27=7+9+11となります。
64=16+16+16+16 も中央から順に1や3を足したり引いたりすると
64=13+15+17+19 となります。
このように立方数は連続する奇数の和で表されます。
n^3=n^2+n^2+…+n^2 とn個のn^2の和になりますが、ここでnが偶数の時と奇数のときに分けて考えます
nが偶数の時 n=2kと書けます。上に書いたようにして連続する奇数の和に書き換えると
(n^2-2k+1)+(n^2-2k+3)+…+(n^2-1)+(n^2+1)+…+(n^2+2k-1)
と連続するn個の奇数の和にできます。最後の項をkで表すと(4k^2+2k-1)です
同様にn=2k+1のときにn^3を連続するn個の奇数の和であらわすと
(n^2-2k)+(n^2-2k+2)+…+(n^2-2)+n^2+(n^2+2)+…+(n^2+2k)
となります。最初の項をkで表すと(4k^2+2k+1)でnが2kのときの最後の項の次の奇数であることがわかります。
n=2k-1のときもしらべてやはり、前の数を和で表した時の最後の項の次の奇数が、次の数を奇数の和で表した時の最初の項になることが確認できます。
このようにして立方数が連続した奇数の和で書けること、そしてそれを並べると全体としても連続した奇数になっていることがわかります。

お礼

いやぁ、なかなか面白いですね！　逆転の発想ですかね？！

ｎ^3 ＝ ｎ^2 ＊ ｎ　という式は、ほかの方の回答の中にも出てきています。当たり前の式なんですけれども、これからｎ^3 はｎ個の連続する奇数の和として表されることが、すぐに出てくるのですね。
あとは、ダブらず漏れずにすべての奇数が現れているかを確認すればよい、という訳ですか。

なかなかユニークな回答を、ありがとうございました。

回答No.6

samidare1234

オリジナル質問者です（笑）回答という形になってしまいましたが、ここにお礼させていただきます。皆さんの回答全て見させていただきました！どれもわかりやすくて、何よりおもしろいです！！僕も皆さんのような回答ができるよう頑張りたいと思いました！それと、わざわざ２回目の回答をして下さった皆さんにはもう何と言ったらよいのか…本当に感謝の気持ちでいっぱいです！quantum2000さんもわざわざ僕の代わりに（？）別の質問として掲載してもらって、本当にありがとうございました！！

お礼

だいぶ勉強になったようで、何よりです。

これからも、数学を色々と考えていってください。高校では「数列」など、さらに面白い数学に接するでしょう。
また何か「発見」したら、気軽に質問してください。削除されないように気をつけながらね！

Ｇｏｏｄ　Ｌｕｃｋ　ｔｏ　ｙｏｕ ！

回答No.4

gabygaby

すみません！＃３の訂正です。
変な文字化けしてました；

＞=(1+3+5+7+9+11) – (1+3+5)
＞=6^2 – 3^2　　　　　　　　　　　　　　←☆より

の「 –　」は「－」です。
失礼しました。

お礼

了解いたしました。早朝からありがとうございました！！

回答No.3

gabygaby

私もこの質問に書き込んで、消されて涙したものです（＾＾；

私は
因数分解m^2-n^2=(m+n)(m-n)
☆1+3+5+・・・+(2n-1)=n^2
★1+2+3+・・・+n+・・・+3+2+1=n^2　
を使います。

例として“３”つ目の群（7+9+11）でやります。
7+9+11=【1から11までの和】－【1から５までの和】
=(1+3+5+7+9+11) – (1+3+5)
=6^2 – 3^2　　　　　　　　　　　　　　←☆より
=(6+3)(6-3)　　　　　　　　　　　　　　←因数分解
ここで、右のかっこはその群の数の個数なので“３”。
左のかっこは、
6+3
=(1+2+3)+(2+1)
=3^2　　　　　　　　　　　　　　　　　　←★より
でその群の２乗。

というわけで
7+9+11＝3^2×3=3^3

蛇足かもしれませんが、☆★の説明もします。

☆について
　１＋３＋５・・・
＝○＋●●●＋◎◎◎◎◎・・・

○ →　○●　→　○●◎
　 　 　●●　 　　●●◎
　　 　　　　　 　　◎◎◎
正方形になるので、n^2（図がずれてますが：）

★について
　1+2+3+4+3+2+1
＝○＋●●＋◎◎◎＋☆☆☆☆＋・・・

　　　☆
　　◎　○
　●　☆　○
○　◎　○　○
　●　☆　○
　　◎　○
　　　☆
縦に並べてななめから見ると正方形なのでn^2

お礼

再度のご回答を、ありがとうございました。

この解答もなかなか面白いですよね。★の公式が効いています！（こうした回答までバッサリ削除されては、かないませんよね！！）
かの中３生さんも見ていると良いのですが・・・。（彼自身も、改めて質問し直してていますが、また削除されてしまうかもしれませんし・・・。）

いずれにしろ、再度お手数をおかけし、ありがとうございました。（オリジナルの質問者さんに代わり、お礼を申し上げます！！？）

回答No.2

shkwta

わかりやすいかどうか知りませんが、直感的に納得できそうなものを考えてみました。

(1)隣り合う整数の２乗の差は、
5^2 - 4^2 = 5 + 4
4^2 - 3^2 = 4 + 3
というように、それらの整数の和になります。証明は簡単で、m^2 - n^2 = (m+n)(m-n) = (m+n)×1 とか、(m+1)^2 - m^2 = 2m+1 = (m+1)+m です。

(2)自然数の列を考え、つぎのように分けます。
[1#](2)[3,4#,5](6)[7,8,9#,10,11](12)[13,14,15,16#,17,18,19](20)…

左からN番目の[ ]の中央の数(#印)と、[ ]の左側にある()の数との差は、Nです。
また、右側にある()の数との差もNです。

ということは、N番目の[ ]の中央の数と、N+1番目の[ ]の中央の数の差は、N + (N+1) です。
最初が1#である(1の2乗=1)ことと、(1)の性質とを考え合わせると、
「左からN番目の[ ] の中央の数は、N^2である」ということが示せます。

(3)上に書いた[ ]の中央の数は、問題の数列の第N群に含まれる数の平均値です。たとえば、13,15,17,19の平均は16#です。また、第N群はN個の数の和です。

したがって、第N群の和S(N)は、

S(N)/N = N^2 すなわち、S(N)=N^3

お礼

ご回答をありがとうございました。

なかなか面白い発想ですね。奇数の列を考えるのに、自然数全体の中で考えるとは！
この回答を、オリジナルの質問者さんが見てくれていると良いのですが・・・。

いずれにしろ、ご回答をありがとうございました。

回答No.1

kabaokaba

一般に数学の問題には著作権はありません．
大学入試の過去問題集を作る場合には
問題の使用料は払いません．
著作権が発生するのは，解答・解説に対してです．
ましてや，このような「よくある問題」には
著作権は発生しようがないという感じですね
削除が多いのは「丸投げだ」（と判断された）
からでしょうね

ちなみに，答案風に書くならば

この数列の一般項a_nは
f(n)=n(n+1)/2=1+2+・・・+n
としたときに
a_n=\sum_{k=f(n-1)}^{f(n)}(2k-1)
なので
a_n=\sum_{k=1}^{f(n)}(2k-1)
-\sum_{k=1}^{f(n-1)}(2k-1)
={f(n)}^{2}-{f(n-1)}^2
={f(n)+f(n-1)}{f(n)-f(n-1)}
=n^2 x n
=n^3
ですね．

やってることは quantum2000 さんと同じです

お礼

早速の回答をありがとうございました。

やはり「丸投げ」ということなのでしょうか。そういう質問は、後を絶ちませんよね。そうした質問に対して、ただの「ヒントだけ」という回答でも、質問と回答の全体が削除になってしまうのでしょうかね？

閑話休題！すみません。
簡潔な証明を、早速にありがとうございました。この問題は数列の公式を駆使すれば、Ｎｏ．１さんが示してくれたようにスッキリと証明できるのですが、オリジナルの質問者さんが中学生ということで、数列の公式も説明しないといけないのでした。それで説明に苦労したのです。

でも、私がこの質問のページをパソコンで打っている間に、「オリジナルの質問者」さんが、このカテゴリーに再度同じ質問をし直していたので、そちらに回答がまた来ると思います。

・・・もっとも、また削除にならなければの話です。今回も「丸投げ」の質問の形なので、削除になりそうですね。もうこちらも、直ぐには回答する気は起きないかもしれません。せっかく回答しても、バッサリ削除になったのでは、かないませんからね。・・・コマッタモノデス。

いずれにしろ、ご回答をありがとうございました。