奇数の和

質問

1 + 3 + 5 + 7 + ... .. +(2*n - 1) = n^2 である。
7*7*7 を連続する奇数の和に変換してください;

回答No.3

noname#231363

7×7×7=49×7
49は奇数であり、7も奇数であるから、49を中心に、49よりも小さくて49に連続する(7-1)/2=3つの奇数と、49よりも大きくて49に連続する3つの奇数を考えればよく、暗算レベルでできます。

7×7×7
=49×7
=49+49+49+49+49+49+49
=(49-6)+(49-4)+(49-2)+49+(49+2)+(49+4)+(49+6)
=43+45+47+49+51+53+55

回答No.2

staratras

m,nは正の整数で、m>nとする
1 + 3 + 5 + 7 + ... .. +(2*m - 1) = m^2
1 + 3 + 5 + 7 + ... .. +(2*n - 1) = n^2
辺々引いて
(2n+1)+(2n+3)+…+(2m-1)=m^2-n^2=(m+n)(m-n)

ここでm^2-n^2=(m+n)(m-n)=7^3 より
(m+n,m-n)=(7^2,7)または(m+n,m-n)=(7^3,1)

前者から(m,n)=(28,21)このとき7^3=43+45+47+49+51+53+55 で題意を満たす
後者から(m,n)=(172,171)このとき7^3=2n+1=2m-1=343となり連続する奇数にならない

答え　7*7*7=43+45+47+49+51+53+55

回答No.1

jcpmutura

Σ_{k=1～n}(2k-1)=n^2

7*7*7
=(6+1)7*7
=6*7*7+7^2
=7*6*7+Σ_{k=1～7}(2k-1)
=7*42+Σ_{k=1～7}(2k-1)
=Σ_{k=1～7}42+Σ_{k=1～7}(2k-1)
=Σ_{k=1～7}(42+2k-1)
=Σ_{k=1～7}(2k+42-1)
=Σ_{k=1～7}(2k+41)
=43+45+47+49+51+53+55