数列

質問

こんにちは。
いつもお世話になっております。

1から始まるn個の奇数の和は1+3+5+.....+(2n-1)=n^2であらわせるのはなぜなのでしょうか。

教えてください。
よろしくお願いいたします。

回答No.5

chicken_man · ベストアンサー

1+3+5+・・・+(2n-5)+(2n-3)+(2n-1)=K　と置き、逆に並べ
(2n-1)+(2n-3)+(2n-5)+・・・+5+3+1=K　これを上式と足す

2n+2n+2n+・・・+2n+2n+2n=2K
これは『1から始まるn個の奇数の和』を基にしているので
項の数は同じくn個、よって

2n+2n+2n+・・・+2n+2n+2n=2n×n=2K
よってK=1+3+5+・・・+(2n-5)+(2n-3)+(2n-1)=n^2

こんな感じでどうでしょう

お礼

ありがとうございました。
参考になりました☆

回答No.6

tky8452

1+3+5+.....+(2n-1)=x
(2n-1)+(2n-3)+(2n-5)+.....+1=x
辺々足すと、
2n+2n+2n+.....+2n=2n^2=2x
x=n^2
（証明終わり）

お礼

ありがとうございました。
とっても参考になりました。

回答No.4

kumipapa

#3 補足。
S = 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1)
S = (2n-1) + (2n - 2) + .... + 5 + 3 + 1
上下足して
2 S = 2n + 2n + ... + 2n　　　（2n が n 個）
= 2 n^2
∴ S = n^2
等差数列の和ですので （初項＋末項）×項数 / 2 ということです。

お礼

補足ありがとうございました☆

回答No.3

kumipapa

どこまで自分で考えてみましたか？
もうちょい頑張ってみよう。

Σ[k=1,n] k = n (n+1) / 2

は習いましたね。 また、Ak, Bk を適当な数列として、a を定数とすると、
Σ(Ak + Bk) = ΣAk + ΣBk
ΣaAk = a ΣAk
Σ a = a n　　　（a を n 個加算）
も明らかですね。すると、1から始まる n 個の奇数は 2k - 1 (k=1,2,...n) で表せるので、その和は（Σの加算範囲はすべて k=1 から n）
Σ(2k - 1) = 2Σk - Σ1 = 2×n (n + 1)/2 - n = n^2

お礼

ありがとうございますo
おかげさまでとくことができました☆

回答No.2

shervs

ヒント

初項:1,公差:2,末項:2n-1の等差数列

お礼

ありがとうございます。
和の方法でできましたo
感謝しております(^_^)

回答No.1

i_noji

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●○●

お礼

ありがとうございますo
いろいろ考えてみたいと思いますo