正弦関数の定積分～着眼点、一般化

質問

明日の定期テストの勉強しています。できれば明日の7:00までに回答いただけると非常に助かります。
sin^6(x)を[0,x,π/2]で定積分する解法及び解答を教えてください。
(高３生です。)
また、その時の着眼点(考え方：こういうときはこう考えればいいみたいな)
があれば教えてください。

回答No.1

noname#256808 · ベストアンサー

sin^2(x)=(1-cos(2x))/2
cos^2(x)=(1+cos(2x))/2
であるので、これらを繰り返し用いて、
だんだんと乗数を少なくしていけば解けるのではないでしょうか。
私ならそうやってときますが。

例えば
sin^6(x)=sin^2(x)*sin^2(x)*sin^2(x)
=((1-cos(2x))/2)*((1-cos(2x))/2)*((1-cos(2x))/2)
というふうにしていけば最終的には
sin(Ax)とcos(Bx)（AとBは定数）
のように１次のsinとcosになると思うので
これは簡単に積分できますよね？

もしかしたらもっと簡単な解き方があるのかもしれませんが^^;
一般的な解き方としてはこれだと思うのですが。

回答No.2

rabbit_cat

これは、受験数学では有名な積分ですね。
部分積分すると漸化式になります。

お礼

なるほど！ヒントをもとに挑戦してみます。