解答解説が簡略で分かりません。。。

質問

もともとは格子点に関する証明(etc)の問題で、aとk、x.yに関する式が一つ与えられていて証明していく問題なのですが、証明の途中にa^2+1とa(aは2以上の整数)には公約数が1しかないので・・・というのがイキナリありまて、自分で数字をいろいろ代入して試してみるとウンウン納得といった感じなのですが、論理的には自分では分かりません＞＜

どなたか分かる方教えていただけませんか？？？

回答No.5

sunasearch · ベストアンサー

２数a,bの最大公約数がｋのとき、逆に言うと、
m,nはｋの倍数です。

ですから、m-n も k　の倍数になります。

そこで、a = ktとおくと、（k,tは自然数）

a^2+1 - a = a^2-a+1 = k(kt^2 - t) + 1

となりますので、これ全体を割り切るｋは１しかないことになり、
２数の公約数は１しかないことがわかります。

回答No.4

graduate_student

某大学の2000年度の後期試験の問題ですね．
a(x+ak)=(a^2+1)(k-y)
左辺はaの倍数だから，右辺もaの倍数（当たり前）
更にaとa^2+1は「互いに素(つまり公約数が1しかない)」だから(k-y)がaの倍数．

わかります？

お礼

ありがとうございます。
ですが後期試験の問題ではありませんし、そこに載っている式も全くことなったものです。

回答No.3

omoidasu

なーんか、難しく考えすぎなんだよなぁ。
aがkの倍数だったら、a^2+1をｋで割ったら、1余るやん。それで、充分分かるやろ。

お礼

そう思うんなら答えないで下さい。
他にきちんと説明してくれる人がいます。一言多いくらいなら最初から何も言わないでください。

回答No.2

oz-boshin

問題がはっきりしないので的確な回答か不安ですが、

aとa+1の公約数が１しかないのは分かっているのでしょうか。
もしaとa+1が公約数を１以外に持っているとすると、
その数をmとでも置くと、（九九みたいに）mの段には
aとa+1の両方があるってことになりますよね。
２数の差が１であるから、これを満たすのはm=1しかないって言うのは
大丈夫でしょうか。

また、aの約数は全てa^2の約数にもあるというのも理解に必要かなと思います。
a=A^p×B^q×C^rとすると、
a^2=(A^p×B^q×C^r)^2=A^2p×B^2q×C^2rですからね、
当然といえば当然ですが。

ですから、a^2+1はa+1と公約数という面では十分に条件が一致しているので、
これはaとa+1の公約数が１のみというのと変わらない、ということになると思われます。

回答No.1

shkwta

補足をお願いします。
(1)a,k,x,yは何を表す記号ですか？（x,yは座標だと思いますが）
(2)証明したいことは何ですか？