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整数x,yの組を全て求める方法と途中計算
- 整数x,yの組を全て求める方法と途中計算について説明します。
- 与えられた条件を満たす整数x,yの範囲は-4≦x≦6, -1≦y≦9です。
- 他の方法を使用することでより簡単に解を求めることができます。具体的な解の数は11個です。
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ひとまずkを消去してみると、 ( 1 － x )^2 ＝ ( 1 ＋ y )( 9 － y ) という式が得られます。 xが整数なので左辺は整数の平方数になりますから、右辺も平方数である必要があります。 その条件を満足するyの値は y ＝ -1, 0, 1, 4, 7, 8, 9 に限られます。 例えばy＝0の場合は右辺＝9になりますので、左辺＝9より1－x＝3または1－x＝－3ということになり、x＝－2またはx＝4が導き出せます。 これをすべてのyについて調べれば、下記の12組が出てきます。 ( x, y )＝ (-4, 4)(-3, 1)(-3, 7)(-2, 0) (-2, 8)( 1,-1)( 1, 9)( 4, 0) ( 4, 8)( 5, 1)( 5, 7)( 6, 4) あとはそれぞれの場合についてkの値が計算できれば良いわけですが、与式より k ( y － 9 ) ＝ 1 － x k ( x － 1 ) ＝ 1 ＋ y であり、x＝1またはy＝9の場合は注意が必要です。 先ほどの12個の組み合わせのうち(x,y)＝(1,-1)の場合はk＝0とすれば両式が成立しますが、(x,y)＝(1,9)の場合はkをどうとっても第2式が成り立ちませんので、この組み合わせを除外する必要があります。 したがって、解答は先ほどの12組から(x,y)＝(1,9)を除いた11組ということになります。
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- mister_moonlight
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＞自分が行なった方法以外で、もっと簡単な他の方法がありましたらその方がいいです。^ 方針だけ書いとくから、計算は自分でやって。 k(y-9)＝1-x、k(x-1)＝1+y から、y-9＝0とx-1＝0の場合は別に扱うとして。 k＝(1-x)/(y-9)＝(1+y)/(x-1)であるから分母を払うと、x＾2-2x＋1＋y＾2-8y-9＝0 これを変形すると、(x-1)＾2＋(y-4)＾2＝25 となる。 Ａ＝x-1、Ｂ＝y-4 とすると、Ａ＾2＋Ｂ＾2＝25 で ＡもＢも整数から、(Ａ＾2、Ｂ＾2)＝(25、0)、(0、25)、(16、9)、(9、16)。。。。。。以下、省略
- mister_moonlight
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＞この先どうすればいいのでしょうか？教えてください！ ほかにも解法はあるが、君の方針でよい。 整数問題は、時として“調べる”という作業が必要になる場合がある。 それを“しらみつぶし”と言う。 書いてないが、おそらくyを消して {x-1}k＾2-10k＋{x-1}＝0 ‥‥(1) からkの方程式と見て x-1＝0の時、k＝0、y＝-1 → ＯＫ x-1≠0の時、kは実数から判別式≧0 → -1≦x≦6 とやったんだろう。 xは整数なんだから、x＝6、5、4、3、2、1、0、-1、-2、-3、-4。 これを(1)に代入して、kの各々の値を求め、その上でkx-y=k+1 か x+ky=9k+1に代入してyの値を定める事になる。 整数問題は、時として根気が必要になる場合もある。 簡単な方法もあるが、先ずは下手でもいいから解ける、事を目指す事。 それを積み重ねていけば、スマートな方法も出来るようになる。
- yespanyong
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No.1です。お礼拝見しました。 ＞これは、yの範囲(-1≦y≦9)が出てるの前提でしょうか？ 実はこの範囲は先ほどの私の回答の ( 1 － x )^2 ＝ ( 1 ＋ y )( 9 － y ) から分かってしまいます。 左辺が二乗の形なので両辺とも0以上の値になるはずですが、 y＜－1あるいはy＞9だと右辺がマイナスになってしまい、 xが実数解をもたないということになってしまうので、 必然的に－1≦y≦9ということになるわけです。
お礼
二度も回答ありがとうございます！ おおおなるほど！確かにそうですね！ 明確で分かりやすい回答、本当にありがとうございました！
お礼
なるほど！詳しい説明ありがとうございます^^ これは、yの範囲(-1≦y≦9)が出てるの前提でしょうか？ 自分の出した範囲を使用するのでしょうか？ 良かったら補足お願いします。 時間が経っても補足が無ければ締め切らせていただきます。 回答ありがとうございました！