整数x,yの組を全て求めよ

質問

整数x,yの組を全て求めよ

実数kと整数x,yが
x+ky=9k+1
kx-y=k+1
を満たす。整数x,yの組を全て求めよ

・・・という問題なのですが。
自分はまず、片方の式を変形し、もう片方の式に代入してx（またはy）を消去しました。
そうして、xとyの範囲（-4≦x≦6,-1≦y≦9）は出ました。その先何をしたらいいか全く分かりません！

この先どうすればいいのでしょうか？教えてください！
自分が行なった方法以外で、もっと簡単な他の方法がありましたらその方がいいです。^^;
ちなみに答えは11個あるようです。
答えというより、途中計算を詳しくしてくれると嬉しいです^^

良ければ回答お願いします！

回答No.1

yespanyong · ベストアンサー

ひとまずkを消去してみると、
( 1 － x )^2 ＝ ( 1 ＋ y )( 9 － y )
という式が得られます。

xが整数なので左辺は整数の平方数になりますから、右辺も平方数である必要があります。
その条件を満足するyの値は
y ＝ -1, 0, 1, 4, 7, 8, 9
に限られます。
例えばy＝0の場合は右辺＝9になりますので、左辺＝9より1－x＝3または1－x＝－3ということになり、x＝－2またはx＝4が導き出せます。

これをすべてのyについて調べれば、下記の12組が出てきます。
( x, y )＝
(-4, 4)(-3, 1)(-3, 7)(-2, 0)
(-2, 8)( 1,-1)( 1, 9)( 4, 0)
( 4, 8)( 5, 1)( 5, 7)( 6, 4)

あとはそれぞれの場合についてkの値が計算できれば良いわけですが、与式より
k ( y － 9 ) ＝ 1 － x
k ( x － 1 ) ＝ 1 ＋ y
であり、x＝1またはy＝9の場合は注意が必要です。

先ほどの12個の組み合わせのうち(x,y)＝(1,-1)の場合はk＝0とすれば両式が成立しますが、(x,y)＝(1,9)の場合はkをどうとっても第2式が成り立ちませんので、この組み合わせを除外する必要があります。

したがって、解答は先ほどの12組から(x,y)＝(1,9)を除いた11組ということになります。

お礼

なるほど！詳しい説明ありがとうございます^^
これは、yの範囲(-1≦y≦9)が出てるの前提でしょうか？
自分の出した範囲を使用するのでしょうか？

良かったら補足お願いします。
時間が経っても補足が無ければ締め切らせていただきます。

回答ありがとうございました！

回答No.4

mister_moonlight

＞自分が行なった方法以外で、もっと簡単な他の方法がありましたらその方がいいです。^

方針だけ書いとくから、計算は自分でやって。

k(y-9)＝1-x、k(x-1)＝1+y から、y-9＝0とx-1＝0の場合は別に扱うとして。

k＝(1-x)/(y-9)＝(1+y)/(x-1)であるから分母を払うと、x＾2-2x＋1＋y＾2-8y-9＝0　これを変形すると、(x-1)＾2＋(y-4)＾2＝25　となる。
Ａ＝x-1、Ｂ＝y-4　とすると、Ａ＾2＋Ｂ＾2＝25　で　ＡもＢも整数から、(Ａ＾2、Ｂ＾2)＝(25、0)、(0、25)、(16、9)、(9、16)。。。。。。以下、省略

回答No.3

mister_moonlight

＞この先どうすればいいのでしょうか？教えてください！

ほかにも解法はあるが、君の方針でよい。

整数問題は、時として“調べる”という作業が必要になる場合がある。
それを“しらみつぶし”と言う。

書いてないが、おそらくyを消して　{x-1}k＾2-10k＋{x-1}＝0　‥‥(1)　からkの方程式と見て
x-1＝0の時、k＝0、y＝-1　→　ＯＫ
x-1≠0の時、kは実数から判別式≧0　→　-1≦x≦6　とやったんだろう。

xは整数なんだから、x＝6、5、4、3、2、1、0、-1、-2、-3、-4。
これを(1)に代入して、kの各々の値を求め、その上でkx-y=k+1　か　x+ky=9k+1に代入してyの値を定める事になる。

整数問題は、時として根気が必要になる場合もある。
簡単な方法もあるが、先ずは下手でもいいから解ける、事を目指す事。
それを積み重ねていけば、スマートな方法も出来るようになる。

回答No.2

yespanyong

No.1です。お礼拝見しました。

＞これは、yの範囲(-1≦y≦9)が出てるの前提でしょうか？

実はこの範囲は先ほどの私の回答の
( 1 － x )^2 ＝ ( 1 ＋ y )( 9 － y )
から分かってしまいます。

左辺が二乗の形なので両辺とも0以上の値になるはずですが、
y＜－1あるいはy＞9だと右辺がマイナスになってしまい、
xが実数解をもたないということになってしまうので、
必然的に－1≦y≦9ということになるわけです。

お礼

二度も回答ありがとうございます！

おおおなるほど！確かにそうですね！
明確で分かりやすい回答、本当にありがとうございました！