エネルギーが速度の二乗っておかしくないですか

質問

運動エネルギーは E = m*v^2/2 ですがこの式に長年疑問を感じております

いま 物体の運動エネルギーを１００％熱に変換できる
夢のような装置があるとします
物体をビューンと加速させ その装置にぶつけると
１００％熱に変換するというものです
これで カップ麺の湯を沸かそうと 一生懸命 物体を加速させることを考えます

物体 m[kg] を 力 F[N] で t[s] 時間 押したとすると(空気抵抗、摩擦等はないものとする)
t[s] 後の 物体の速度は v = F*t/m[m/s] になり
この v を E の式に代入すると
E = F^2*t^2/(2*m) になります

200cc 15度の水を90度の湯にすることを考えると
(90 - 15)*200*4.2 = 63000[J] のエネルギーが必要なので
F^2*t^2/(2*m) = 63000 という式が成り立ちます
物体 m は 1[kg] 固定だとすると
F^2*t^2 = 2*63000
これを F*t の式に置き換えると
F*t = √(2*63000)

ここで めんどくせーから 50度の湯(ありえないんだけど)でいいや
ということにすると
(50 - 15)*200*4.2 = 29400[J] となり
さっきの 0.4667[倍] のエネルギーでいいことになります
このエネルギーを作るのに 要する運動量は
F*t = √(2*29400) で
√(2*29400)/√(2*63000) = 0.683[倍]

日常の感覚から 力 F[N] で仕事をすると
時間に比例して(移動距離ではない)疲労が溜まっていくと思うんですが(F*t が疲労)
この場合 0.4667[倍] のエネルギーでいいはずなのに
運動量(疲労) は 0.683[倍] という
なにか腑に落ちない結果になります
0.4667[倍] の運動量でいい！という風にはならないんでしょうか

回答No.10

rabbit_cat · ベストアンサー

１．＞物体を紐で結べばぐるぐる回して 結構な速度まで楽に加速できます
これは、パラメータ励振ですので、Ｆで押し続けるとはちょっと話の設定自体が違います。速度が速くなれば遠心力が大きくなるので、パラメータ励振（紐の長さを変える）をするのに必要な力は大きくなっていきます。

２．＞一度エネルギーを電気に変換し、リニアモーター装置で加速するとか
この場合は、同じＦでずっと押し続けるために、必要な仕事率は、時刻に比例してどんどん大きくなりますね。発電する電気の量をどんどん増やしていかなければなりません。

３．＞滑車を使って(井戸の水を汲むみたいなあれです) 十分な高さまで 物体を持ち上げておっことす
この場合は、物体の速度を常に０とすれば、位置エネルギーはmghなので、滑車を引っ張る時間と、した仕事量は比例しますね。

２．３．を考えると、やはり、「速度が速くなってしまうと同じＦで押せなくなる」、ていうのが直感的な理解ってことになるのかな。

ほんとうは、＃７さんのように、なんで人間がずっと力を入れ続けるとマクロ的には全く仕事をしていないのに疲れるのか？ということを、ミクロ的に調べるほうがいいんだと思います。
私は、こっち方面は全く専門外ですが、高校時代の記憶をたどってみると、
筋肉って構造上、10msec程度しか収縮を維持することはできなくて（単伸縮）、それより長い時間、収縮した状態を維持したいのであれば、単伸縮を何度も繰り返すしかないはずです。なので、人間が力をこめている間は、筋肉が収縮と弛緩を繰り返しているってことでは。結局、ＡＴＰのエネルギーは全て熱になってしまうってことです。

お礼

再レスありがとうございます
何度もすいません

＞＞１．物体を紐で・・・
＞パラメータ励振（紐の長さを変える）をするのに必要な力は大きくなっていきます
＞
そうですね・・・ 速度に見合った力が必要でした（向心力ですか）

＞＞２．一度エネルギーを電気に変換し、リニアモーター装置で加速するとか
＞この場合は、同じＦでずっと押し続けるために、必要な仕事率は、時刻に比例してどんどん大きくなりますね
＞
むむっ さようですか・・・
速度が増すと 電磁誘導の力も増えるので
それを打ち消して 磁極を変える電気が必要になるということか

＞２．３．を考えると、やはり、「速度が速くなってしまうと同じＦで押せなくなる」、ていうのが直感的な理解ってことになるのかな
＞
小学生には これでいけそうです
式でも証明できないか 計算してみました
#8 へのレスで物体を吊るしてから どうこうという計算をしてみましたが
あの結果は 両辺に F*t があるなんとも怪しい結果だったので
別の思考実験をしました
力 F で Δt[s] 押すごとに 熱エネルギーに変える とした場合です
左手で押して 右手で押して と往復運動を繰り返せば
その場を動かなくてもいいわけで
こうすると
ΔE = m*v^2/2
v = F*Δt/m なので
ΔE = F^2*Δt^2/(2*m)
n 回繰り返すと
E = n*F^2*Δt^2/(2*m)
ΔP = F*Δt とし
E = n*(ΔP)^2/(2*m)

で エネルギーは往復の数に比例するという結果になりました！
しかし 一回の運動量は大きいほど効率が良いようです＞ΔPの二乗に比例しているので

ミクロ的に調べてみたい気もしますが あいにく私も知識を持ち合わせていません・・・
レスがずいぶんつきましたし この質問はとりあえずこれで終わりにしたいと思います
長々と付き合っていただきありがとうございました

回答No.9

rabbit_cat

もともと、エネルギーと運動量を比べること自体が間違っているわけですが。
あえて言えば、

＞日常の感覚から 力 F[N] で仕事をすると
時間に比例して(移動距離ではない)疲労が溜まっていくと思うんですが(F*t が疲労)
やっぱりこれがおかしいんでしょうね。Fで押し続けると物体の速度がどんどん速くなっていくんで、同じFで押し続けるのが大変になるというか。

＞いま 物体の運動エネルギーを１００％熱に変換できる夢のような装置があるとします
夢でも何でもありません。この世の運動エネルギーは、結局すべて熱になります。ただし、その熱がカップ麺の温度を上げることだけに使われる、となると夢の機械ということになりますが。

お礼

＞同じFで押し続けるのが大変に・・・
＞
についてですが
もっと簡単な方法がありました
滑車を使って(井戸の水を汲むみたいなあれです) 十分な高さまで 物体を持ち上げておっことす

補足

回答ありがとうございます

＞やっぱりこれがおかしいんでしょうね
＞
私もそう思います
が経験上は 運動量＝疲労 で感じてしまいます（そう感じるのは私だけ！？）
日常感覚とのズレを説明できる答えを探しています
「運動量とエネルギーは別物だから」が答え？
小学生にも納得できる説明はありませんでしょうか

＞Fで押し続けると物体の速度がどんどん速くなっていくんで、同じFで押し続けるのが大変になるというか
＞
これについては 物体を紐で結べば
ぐるぐる回して 結構な速度まで楽に加速できます
途中で酔って吐きそうですが
また 一度エネルギーを電気に変換し、リニアモーター装置で加速するとか
電気をうまく仲介すれば その場を動かずに リモートで
動いている物体に力を加えることは可能だと思います
まぁ そうなると 変換効率だとか リニアモーター制御のためのエネルギーだとか いろいろ入ってくるわけですが・・・

＞熱がカップ麺の温度を上げることだけに使われる、となると夢の機械・・・
＞
たしかに そうでした＞この世の運動エネルギーは、結局すべて熱に
では 対象物の温度を上げる夢の機械ということで

回答No.8

ikokkoki

質問の趣旨がよく理解できてませんが，
AnonymousCowardさんは運動量とエネルギーを混同しているように感じます．
よく単位を考えてみてください．
運動量はkg・m/s=N・sで
エネルギーはJ=N・m=kg・m^2/s^2ですね．
そもそも次元が違います．
質量mの物体が速度vで動いているとき，運動量はmvでエネルギーは1/2mv^2になります．
２つの動いている物体を比べるときでは，運動量が同じでも当然エネルギーが異なる場合もあります．
また，運動量は運動の状態を示す量で，
エネルギーとはその物体がもつ物理量と言う事もできます．

で，その観点から考えると疲労については
運動量＝疲労ではなく，どちらかというとエネルギー＝疲労になると思います．

答えになってるかどうか分かりませんが，どうですか？

お礼

#9への補足で 滑車を使って持ち上げてから落とせばいい
と書きましたが
力Fで持ち上げ続けると 結局物体は加速し続けるわけで・・・
なのでこのように考えました

物体を Δt 間だけ持ち上げるとストッパーが働き、いったんそこで速度は0になります
その間に 体制を整え 再び持ち上げる と
実際 持ち上げるときもこんな感じになるでしょう
こうした場合 必要なエネルギーを E とすると
E = m*g*h より
h = E/(m*g) まで持ち上げないといけません
一回の持ち上げ動作で 移動する量 Δh は
Δh = 1/2*(F/m - g)*Δt^2
h まで持ち上げるには
n = h/Δh = 2*h/((F/m - g)*Δt^2) 回動作を繰り返します
このときの力積 F*t は
F*t = F*n*Δt = 2*F*h/((F/m - g)*Δt)
h = E/(m*g) を代入すると
F*t = 2*F*E/((F - m*g)*g*Δt)
となり F*t と E が比例の関係にあることが導けました！
なんとかこれで納得できそうです

皆さんの 沢山の回答からヒントを得て 最後は自己解決に至りました
この場を借りて厚くお礼を述べさせていただきます
ありがとうございました

補足

回答ありがとうございます
確かに エネルギー＝疲労 が物理的には正しいのでしょうが
日常の感覚からは 運動量＝疲労 と感じてしまうということです
エネルギー＝疲労 が正しいのだよ と言われても 経験が邪魔をしてうまく理解できません
スムーズに理解できるうまい説明はないものでしょうか

回答No.7

nabla

これは人間が筋肉を使うときの筋肉の働き方に関係していると思います。
生物は高校でやった程度で詳細は覚えていないのですが、人間が筋肉を使うときには電気信号を使ってピクピクと筋繊維を収縮させることで力を出します。
　つまり物理で考える単純化された力とは違って、複雑な現象の結果として表面的には単純に「見える」だけの力です。
　筋力の詳細を調べれば「人間は時間に比例したエネルギーを消費する」というような結論が出てくる気がします。（単なる想像ですが…）

補足

回答ありがとうございます
微細に調べていくと 最終的には そうなる気はしますね＞時間に比例したエネルギーを消費する
ただ 人間というのは自分の体のことすら分からないもので
たいして動いていないのに得をした と感じてしまのだと思います

このギャップを利用した面白い商売(詐欺？)を思いつきました
ある会社は 例の装置を改良し、運動量を電力に変える装置を使い
人力で発電して売るという商売をしていました
ここの社長は「動いた量に応じて給料支払うよ」といい
賃金 = k*F*t[円] という給料体系を取っています
従業員も動いた量に応じて支払ってもらえるんだから納得です
しかし 実際発電された エネルギーは F*tの二乗に比例しており会社は大儲け！？

回答No.6

endlessriver

長くて判りづらくなっていますがとんち問題かな。

エネルギーも運動量も疲労も元もと異なるものです（とはいえ関連はありようですが）。
変化の状態をそれぞれの概念から見て値が異なっても当然だす。

例えば風船を膨らませたときの変化を体積、断面積、長さで比較するような門だ素。「風船の変化は断面積で見るんが正しいはずさ」というようなもの。

補足

回答ありがとうございます
とんちでもなんでもありません 真面目に質問しております

風船の例を出しておりますが
風船の体積 を V とすれば
断面積は (3*V/(4*π))^(2/3)*π
長さは 2*(3*V/(4*π))^(1/3) で表示することができ
ここで 体積を2倍にすると
断面積は 2^(2/3) 倍
長さは 2^(1/3) 倍になるが 本質は一緒 ということですか

運動量だと1.5倍でも
エネルギーなら 2倍＞#5の見方を変えた問題の場合です
たしかに 計算の上では これで納得できそうです
が
実際 1.5倍しか動いてない(気がする)のに
2倍のエネルギーを作りだせるのが不思議でなりません

回答No.5

nta

＃３です。
　運動量と疲労の度合いが比例するという直接的な関係は成り立ちそうもありませんね。自転車を時速１０ｋｍから倍の２０ｋｍに加速するのは簡単ですが、２０ｋｍを４０ｋｍに加速するのはなかなか骨がおれます。
　同じような話ですが、荷物をじっと持って立っているだけで筋肉は疲れてしまうのに、物理学では仕事をしていないことになっています。感覚的には立っているだけで（生体）エネルギーを使っているのでその代償を求めたいところですが、台の上に荷物を置いていたのと全く効果は同じとみなしてしまうのです。

補足

回答ありがとうございます
自転車を２０ｋｍから４０ｋｍにするには
高性能のギアを使えば１０ｋｍを２０ｋｍのときの２倍の運動量でいけます(20-10 = 10 だけど 40-20=20 なので2倍です)

ところで 問題を少し変えて
50度ではぬるいので 90度 にすることを考えると
エネルギーは (90 - 15)/(50 - 15) = 2.143[倍] 必要なのに
運動量は √(90 - 15)/√(50 - 15) = 1.464[倍] でいいという
1.5倍動けば 2倍の効果が得られるなら いっちょ90度にしたろーかい！という効率のいい話になりますね

そもそも 運動量と疲労の度合いが比例 という考えが間違っている気がしてきました
1.5倍のつもりが 知らず知らずのうちに2倍疲れるんだろうなぁと・・・

回答No.4

pyon1956

#2です。
ついでながら、こういうことは理論だけではほんとかどうか解らないのは当然です。
問題はそういう感じがするかどうか、ではなく、どちらが事実を正確に表現しているか、です。
物理学は理論の正確さを実験によって確認してきて、現在に至っているわけで、計算が事実と一致するか（誤差の範囲内で、ですが）どうかがすべてです。
そこを無視して感覚に頼るのは科学ではなくオカルトの世界です。相対性理論や量子力学もそうですが、日常の感覚と一致しないことはよくありますが、実験で確かめられている以上どちらがより真実に近いかはいわずもがなです。

また、エネルギーも運動量もそこにあるのが見えるたぐいのものではありません。実際に感知できるのは運動の速さや、音や振動、熱などに変換されている仕事です。
ではそれらがどのような関係にあるのかを数学的に表現する場合に事実に合致するのは運動量と運動エネルギーを区別し、それらの関係を微積分で表現することです。そういうことのために創造された概念が運動量、エネルギー、仕事、運動の速さなどの概念です。そうして現在に至る学問の体系として、物理学も発展してきたのですね。
エネルギーと運動量を区別できないと18世紀以前の水準で議論することになります。

回答No.3

nta

式は間違っていません。エネルギーと運動量は異なる概念なんだという、典型的な例ですね。学生さんだと思いますが、こういうことに気がついただけでも偉いですね。

回答No.2

pyon1956

運動エネルギーが熱にかわる、というのは正確には熱エネルギーにかわる、というものです。
イコール温度変化というわけではないのに注意してください。
熱エネルギーが仕事をすると、それが温度変化を作り出します。

ついでながら「日常の感覚から～～という風にはならないんでしょうか」という部分はあってます。
なぜならそれは運動量についての話だからです。ご存知のように運動量と運動エネルギーは別のものです。

このあたりたしかにむつかしいので、mvと(mv^2)/2のどちらが運動の作用を表すのかというのは18世紀の物理の重要な論争でもありました。
現在、熱エネルギーは個々の分子の運動量を積分してえられるものと考えられています。
運動量はベクトルですが、エネルギーは（運動エネルギーも熱エネルギーも）スカラーです。
仕事もスカラーで、仕事が温度変化の原因になります。

回答No.1

bahoo

ちょっと長過ぎて読む気がしないのですが、
速度の定義として「物体の速度は v = F*t/m[m/s]」は変だと思うのですが。

それに、今更偉大な物理学者の発見したことを否定しようとしてもだれも認めてはくれませんよ。
積分を勉強すると、運動エネルギーが速度の２乗というのは理解できます。

補足

素早い回答ありがとうございます
タイトルがまずかったですが 否定しようなどという気は毛頭ありません
実験結果と日常の経験則のギャップを埋める
納得のいく解が欲しいです＞事実がこうだから！では納得できません
F=m*a を 距離で積分すると m*v^2/2 になることは知っております が
距離で積分することにどんな意味があるのか分からないでいます