仕事とエネルギー

質問

大問:曲面ABが点B,曲面CDが点Cにおいて,水平面BCとなめらかに接続されている。水平面から高さh[m]の曲面上の点Eから,質量m[kg]の小物体を静かにはなし運動させた。面と物体との摩擦は無視でき,物体は回転することなく面上を運動する。重力加速度の大きさをg[m/s^2],重力による位置エネルギーの基準点を水平面BCとして,以下の問いに答えよ。

小門:物体は曲面CD上をどの高さまで上がることができるか。水平面BCからの高さで答えよ。

という問題で、答えが
mgh=mgh'
h'=h
になるのですが、このmgh=mgh'になる前の式って、どんなですか?
BCは、平面なので高さが無いじゃないですか～?
なのに何故mghとなるのですか?もしかしてA点を始めD点を後と見ているのですか?
どんな公式を使いどこの点=どこの点の式なのか?何が0なのかまで詳しく教えて下さい。

最後に画像の図が見えにくくて申し訳有りません。

回答No.1

noname#175206

>このmgh=mgh'になる前の式って、どんなですか?

　途中経過で速度vも含めると、力学的エネルギーとしては「運動エネルギーと位置エネルギーの和」つまり「(1/2)mv^2＋mgh」が一定だということです。

　これが成り立っているのは、摩擦による力学的エネルギーの減衰がないという前提があってのことです。また、回転しないということから「(1/2)mv^2＋mgh」としています。つまり、回転よる力学的エネルギーを0としています（もし転がるなら、その運動エネルギーも考慮する必要がある）。

　すると、ある地点で速度v、高さhだったのが、移動して、速度v'、高さh'になると、力学的エネルギー保存としては、

(1/2)mv^2＋mgh＝(1/2)mv'^2＋mgh'　―(1)

となります。高さの基準は問題に「重力による位置エネルギーの基準点を水平面BCとして」とある通り、「水平面BCからの高さ」です。

　高さhで滑らせ始めた初速は0です。そして速度が増して、また減速して、最高の高さh'に達したときの速度も0です。もし、まだ速度が0でなければ、さらに斜面を登れますから。

　つまり、式(1)でvとv'を0とするわけです。こうして、

mgh＝mgh'　―(2)

となり、h＝h'を得ます。

　ちなみ、区間BCでは、そこが高さの基準ですので、h＝0です。このとき、v＝0のとき持っていた位置エネルギーが全て運動エネルギーに変わります。これは、

(1/2)mv^2＝mgh

と表せて、その速度はv＝√(2gh)となります。