離散フーリエ変換の対称定理について

質問

離散フーリエ変換において、

Re[X(k)]=Re[X(N-k)]
Im[X(k)]=-Im[X(N-k)]
|X(k)|=|X(N-k)|

といった対称定理が成り立ちます。

数学的にこれらが成り立つということは、大体理解できたのですが、直感的な意味が分かりません。

僕の理解が正しいとしたら、N=128だとしたら、
N=1の極めて周期の大きな波と、N=127の極めて周期の短い波の、
振幅スペクトル（≒振幅？）が等しいということになると思うのですが、どうしても納得が行きません。

N>64の周波数をフィルターでカットした場合も、対称定理は成り立ち、N>64の周波数の波は出てくる（というか、カットしないと、エイリアシングが生じる）と思うのですが、どういうことなのでしょうか？

N>64の周波数の波は、計算上は出てくるが、実際にはそのような波は存在しないのですか？
あるいは、N>64の周波数同士の波で、上手く相殺されて、逆離散フーリエ変換をしたときには、影響が出ないということなのですか？

また、通常のフーリエ変換では、対称定理は成り立たないと思うのですが、そのことも併せて教えて頂けたらと思います。
よろしくお願いします。

回答No.4

tatsumi01

離散フーリエ変換の周波数領域で (N-k) は (-k) と同じです。これが (N/2) を中心として「折り返す」という意味です。
配列として (-N/2, ..., 0, ..., -N/2) を取れば判りやすいのですが、昔の FORTRAN ではこのような配列が切れなくて (1, ..., N) と取ったことにも理由があります。
周波数領域で (0, ..., N-1) と取るのにはそれ以外にも理由がありますが、直感的に理解するには上のように考えればよいと思います。

回答No.3

guuman

実数関数のフーリエ変換によってできる関数は
時粒が偶関数で居部が奇関数である

周期関数のフーリエ変換によってできる関数は
インパルス列になる

インパルス列のフーリエ変換によってできる関数は
周期関数になる

つまり
実関数であって周期関数であってインパルス関数である関数をフーリエ変換すると
時粒が偶関数で居部が奇関数である
インパルス列になる
周期関数になる
の３つになる
周期関数になるのは対象がインパルス列であることからの帰結である
時粒と居部についての関係式はフーリエ変換対象が実数値関数であることからの帰結です

そもそのあなたは
フーリエ変換と離散フーリエ変換の関係を理解しているのでしょうか？
もし理解していれば上の説明で疑問は解消できているはずです

回答No.2

paddler

> 僕の理解が正しいとしたら、N=128だとしたら、
N=1の極めて周期の大きな波と、N=127の極めて周期の短い波の、．．．

まず第一に、128点のデータ列の中には、サンプリングの定理により、元々64を超える周波数成分は含まれていません（サンプリング前のアナログ信号中に64を超える周波数の信号成分が含まれていたとしても、サンプリング後にはエイリアジングにより周波数が化けて64以下の周波数となった形で含まれることになります）。

そして次に、128点での離散フーリエ変換では、64を超える周波数の計算はできません。これは離散フーリエ変換の元々の計算を考えてみれば明らかで、cos変換に関して言えば、例えば、

　　Σ Xi・cos(2πik/128)

を計算する訳ですが、この中の周波数解析のためのcos項も先と同じことで、128点の場合にはk>64のcos(2πik/128)の項はエイリアジングにより化けて結局、cos{2πi(128-k)/128}と同じ値になりますね？（エクセルで簡単に確認できます。）

ということで、

　　Σ Xi・cos(2πik/128)　＝　Σ Xi・cos{2πi(128-k)/128}

になる訳ですね。

> N>64の周波数をフィルターでカットした場合も、対称定理は成り立ち、N>64の周波数の波は出てくる

ですから、N>64の周波数の所に出てきている値は、本当にその周波数の成分ではなく、単に64以下の周波数成分がミラー対称で現れているだけです。本来の周波数目盛りに見合った実態ある周波数成分の情報が現れている訳ではないのです。

回答No.1

guuman

ｘ（ｔ）が実数値関数であって
ｘ（ｔ）＝ｘ（ｔ＋Ｔ）（周期Ｔの周期関数）
であるとき

あなたが
Σ［－∞＜ｎ＜∞］・ｘ（ｔ）・δ（ｔ－ｎ）
のフーリエ変換をすることができればその問題は解決します（というよりそのような疑問は出ない）

このフーリエ変換はｃｏｓ（２・π・ｔ）あるいはｅｘｐ（ｊ・２・π・ｔ）のフーリエ変換をできなければできません