変分法について

質問

参考書などで見かける変分原理の証明は、Hψ＝Eψのエネルギー固有値の最小値と比較する際、試行関数を用いますが
試行関数をΦとするとｃψの線形結合で表しています。
これだと任意の関数になっていないですよね？

実際にすべての関数を試すことなど不可能ですが、この表し方だと、いくつかの固有関数はわかっていることになると思うのですが。

それならば、基底関数もわかるのではなどと思います。

実際どのような関数を試行関数として試すのでしょうか？

確かにこのように表すと直交性など利用でき証明も簡単にできますが。

いくつかの固有関数がわかっていないと変分法は有用ではないのでしょうか？

時間がありましたら、どなたか回答お願いします。

これだと

回答No.2

o_pato · ベストアンサー

固有関数が完全系をなすというのは良いでしょうか。
つまり、任意の関数は、固有関数の線形結合で表されます。

ですので、固有関数が分かっていなくても、試行関数が固有関数の線形結合で表されるということ自体は常に正しいのです。

そして、任意の関数の中でエネルギー期待値を最小にするのが基底状態の固有関数であるということを使います。

すると、試行関数のうちで、エネルギー期待値を最小のものが、基底状態のエネルギーに最も近い（けれど、必ず基底状態のエネルギー以上）ということが分かります。

ただし、どの程度基底状態のエネルギーに近いかは分かりません。
ですので、あらかじめ（物理的に考えて）うまい試行関数をとっておく必要があります。

これにたいして、摂動論で考えるとそのような悩みはなく、機械的に近似することができます（どちらも一長一短ですが）。

お礼

回答ありがとうございました。

＞＞固有関数が完全系をなすというのは良いでしょうか。
つまり、任意の関数は、固有関数の線形結合で表されます
良くありません（笑）　任意の関数が固有関数の線形結合で書けるなんて知りませんでした。

それならば納得できますね。

回答No.3

endo-orexo

まことに老婆心ながら,,,
固有値Eを問題にする時、まず演算子Hが存在すると仮定して議論する訳ですが、
このHが作用する事の出来る関数ψ、というものが当面考えるべき対象ですね。
その様な『Hが作用出来る任意の関数」はHの固有関数の線形結合で表現されると。
この「任意関数についての定義」が＃２サン回答最初の２行に陰服されているものと思います。

お礼

回答ありがとうございます。

なるほど　Hが作用できる関数を考えればいいのですか。

本当に助かりました。ありがとうございました。

回答No.1

ojisan7

具体的にどのような問題で考えているのかわかりませんが、一般的にこのような場合は、摂動法で扱うのが一般的だと思います。摂動がある場合の固有関数は、無摂動の場合の固有関数で展開してみれば良いと思います。その理由は、ハミルトニアンの固有値は規格完全形をつくるからです。強いていえば、別に固有値でなくとも、規格完全形をつくる関数であれば基底として、何でも良いと思いますよ。

お礼

回答ありがとうございます。

摂動法は勉強していないのでまだ全然わかりません。　
さっそく勉強してみます。