固有値方程式の意味

質問

固有値方程式の原理はわかっているつもりです。
ただ固有値方程式の重要性というか数学的な有用性がイマイチつかめません。
足し算なら両側の数の合計だったり、連立二次方程式だったら二つの未知数が求まる、なんてわかるんですけど。
例えば「固有関数はなぜ（両辺にあるのに）無くならないの？」と聞かれたらどのように説明すればよいのでしょうか？

回答No.3

siegmund · ベストアンサー

> 「固有関数はなぜ（両辺にあるのに）無くならないの？」

察するに，以下のような疑問かと思います．
演算子 A に対する固有値方程式
(1)　　Ax = ax
(x: 固有ベクトル，a：固有値)
があります．
《両辺に x があるから，「約分」して A=a にならないのか？》

　　┌　　　┐
Ａ＝│１　２│
　　│２　１│
　　└　　　┘
として固有値方程式を解けば，a=-1,3 ですが
もちろん２×２行列のＡが単なる数の -1 や 3 に等しいという意味ではありません．
特定の x (固有ベクトル)に対してたまたま -1 あるいは 3 を掛けた結果と
等しくなるということです．

Ax は x に演算子 A を作用させるということですから，
単なる掛け算(可換)とは意味が違います．
「約分」しちゃっちゃいけません．

> どのような根拠でシュレディンガーは水素原子の線スペクトルを説明するために、
> 固有方程式を使ったのでしょうか？
詳しく書くと量子力学成立史になっちゃいます．
http://village.infoweb.ne.jp/~oyaoya/qed/qed.htm
などいかがですかね．

回答No.2

noname#108554

線形な対象はだいたい固有値問題になりますよね・・・
数学的には不動点(ベクトル)を求めるのと同じですが。

しまったな、そんな歴史的な話は知らないです。
ポアソン方程式とか連成バネの問題が、固有値問題の初期に
問題になっていたと思うんですけど。
知らないのに回答してしまってすみません。

一応、検索もしてみましたが、それっぽいのはありません。

お礼

ありがとうございます。

数学的には不動点(ベクトル)を求めるのと同じですが

なるほど、ベクトルやら行列やら複素数やら自分が単位取る目標のみで適当に勉強してきた世界に帰着しているのですね？
しまったな、教科書持ち出して一から数学勉強しないと新たな質問も書けそうに無いです。
頑張ってみるので、またよろしくお願いします。

回答No.1

noname#108554

「固有関数が無くなる」とはどういう状態を指しているのでしょうか?
固有関数＝0となるということですか?
そうすると、(両辺にあるのに)の意味が分からないんですが。

「数学的な有用性」もまたどう答えれば良いのか分かりませんが、
物理的な有用性なら固有値問題に帰着する問題はたくさんあります。

補足

そうですよね？
質問自体が曖昧すぎて（抽象的になってしまうのは自分の理解度を反映していると思いますけど）解答しずらいと思います。
少なからず、物理化学を勉強してきた者ですので物理的有用性は分かっているつもりです。
様々な情報の詰まった波動関数を演算子を用いることによって、その演算子に対応する固有値が波動関数から導き出される。
こんな感じでしょうか？
違っていたら指摘してください。

では質問を変えて、
どのような根拠でシュレディンガーは水素原子の線スペクトルを説明するために、固有方程式を使ったのでしょうか？
誰が固有値方程式をどのような数学的背景から作り上げたのでしょうか？

わかりやすいサイトなんかでも結構です。
化学の人間にでもわかりやすい本があったら教えてください。
初心者ですが、よろしくお願いします。