三角関数の積分

質問

∫1/(2+cosx)dx
おそらく、t=tan(x/2)と置いて解くと思うんですが、私では答えが出せないのでよろしくお願いします。

回答No.2

acm12wat · ベストアンサー

t=tan(x/2)とおく。　　　　　　　…(1)　

{sin(x/2)}^2+{cos(x/2)}^2=1の両辺を{cos(x/2)}で割ると，
{tan(x/2)}^2+1=1/{cos(x/2)}^2
ゆえに，(1)より
1/{cos(x/2)}^2 = t^2+1　　　　 …(2)

一方，倍角の公式より
{cos(x/2)}^2=(cosx+1)/2　　 　 …(3)
したがって，(1)(3)より，
1/{2+cos(x)} = (t^2+1)/(t^2+3)　…(4)

さらに，(1)をxについて微分すると，
dt/dx = (1/2)×1/{cos(x/2)}^2
ここで，(2)より
dt/dx = (1/2)×(t^2+1)
よって，
dx = 2/(t^2+1)dt　　　　　　 　 …(5)

したがって，(4)(5)より
∫1/(2+cosx)dx = ∫{(t^2+1)/(t^2+3)}{2/(t^2+1)dt}
整理して，
=2∫dt/(t^2+3)

ここで，∫[{tan(x)}^(-1)]dx = 1/(x^2+1)を使います。
すると，
∫dt/(t^2+3) = (1/√3){tan(t/√3)}^(-1)であるので，
2∫dt/(t^2+3) = (2/√3){tan(t/√3)}^(-1)

したがって，(1)より
∫1/(2+cosx)dx = (2/√3){tan(1/√3)×tan(x/2)}^(-1)

解を微分して検算してみてください。
頑張ってくださいね。

回答No.1

yamy99

t=tan(x/2)より，x=2tan^(-1)t
微分をすると，dx=2dt/(1+t^2)

cosxをtを用いた式で表します。
cosx=cos2(x/2)
=cos^(2)(x/2)-sin^(2)(x/2)
=1/(1+t^2)-t^2/(1+t^2)
=(1-t^2)/(1+t^2)

上の式を積分の式に代入します。
∫1/(2+cosx)dx=(2dt/(1+t^2))/(2+(1-t^2)/(1+t^2))
=∫1/(1+t^2+1-t^2)
=∫(1/2)dt
=t/2 +c
=(1/2)tan(x/2)+c