高1数学

質問

n^3+3n^2+2n-210=(n-5)(n^2+8n+42)
と、解答にあるのですが、なぜこのように因数分解できるのか、その過程がわからなくて困っています。どなたかわかる方教えて下さい。お願いします。

回答No.1

postro · ベストアンサー

n^3+3n^2+2n-210 のnにあてずっぽうにいろいろな数（整数じゃないと計算が大変です）を代入して
結果が０になるものを探します。親切な問題ならだいたい-3から3くらいまで代入すればどれかで0になってくれるんだけど
この場合は少し意地悪ですね。5を代入してやっと0になったのですね。
5を代入して0になると、この式は(n-5)で割り切れます。これを因数定理といいます。
だから(n-5)で割り算を実行します。ちゃんと割り切れるはずです。

回答No.4

rinkun

一般論として、多項式f(x)について、方程式f(x)=0が解αを持てば、f(x)は(x-α)で割り切れます。
整数係数の範囲で因数分解する場合は、解αは有理数範囲で見つければ良く、特にf(x)の最上位係数が1の場合は整数解を見つければ良いです。
整数係数の多項式f(x)の場合、整数解αは、f(x)の定数係数の約数(ただし正負両方の可能性有り)になります。

従って、この問題の場合は210の約数(正負とも)を順にnに代入して0になる数α(=5)を求め、(n-α)で割れば良いです。
なお残りの2次式が更に分解できるかどうかは2次方程式の解が整数範囲に入るかどうかで決まります。今回はこれ以上の分解はできないようです。

お礼

みなさんのおかげで理解できました。
本当にありがとうございました☆★

回答No.3

keydaimon

#1さんがおっしゃるとおり因数定理なのですが、あてずっぽうではなく、±（210の約数）、を代入してみます。つまり、

±１、±２、±３、±５、±６、±７、…

という感じです。他の問題でも同じです。2次式までであれば、最悪解の公式でいけますが、3次式以上は、今のように、定数項の、±約数を代入していきます。

回答No.2

oldpal03

210の約数に注目し

210＝５×４２

210に－が付いているので（ｎ－5）で割ってみると

ｎ＾２－８Ｎ－４２