3次方程式について

質問

カルダノの公式を使えるように勉強しているのですが、
計算過程に虚数が出てくるのでそこで、計算がつまってしまいました。

三乗根のルートから、出すために(α+βi)^3の形にしたいのですが、
汎用性のあるやり方を教えて頂きたいです。
例題では、2+11i=(2+i)^3となっていました。
複素数なので、回転とかを利用しようと思いましたが、
角度がめちゃくちゃになるので、できれば手計算に適した
手法を教えて頂ければ幸いです。
お手数ですが、よろしくお願いします。

回答No.1

kashimezai · ベストアンサー

だいぶ無理がありますが、
2+11i=(a+bi)^3=a^3-3ab^2+(3a^2b-b^3)i
a^3-3ab^2=2・・・(1)
3a^2b-b^3=11・・・(2)
(1)、(2)から
11(a^3-3ab^2)=2(3a^2b-b^3)⇔11a^3-33ab~2-6a^2b+2b^3=0
ここから頑張ってa=bとかa=2bとか代入して実験するとa-2bを因数に持つことがわかります。
あまりいい方法とは言えませんが、力業で何とかなるっちゃ何とかなります。

お礼

かなり、考え方が難しそうですので、
実験しながら、求めてみようと思います。
参考になりました。

回答No.2

kup3kup3

こんばんは。
質問QNo.4231603さんの
「Q上既約多項式x^3+px+qの最小分解体(修正版)」にもその内、答えたいと思いますが、
この質問者さんのQNo.4195020の
「3つの無理数（修正版）」への私の回答を参考にして下さい。
カルダノの方法についても説明しています。

お礼

私の知識では、理解するのが厳しいようでした。
大変参考になりました。