虚数時間とか虚数質量という言葉をよく聞きますが

質問

啓蒙書などで相対性理論を勉強している者なので、とんでもない馬鹿な質問かもしれませんが。
よく、「虚数質量等を認めれば、タキオンは相対性理論で理論的にはあり得る。ただし、存在は確認されておらず、因果律を破るので、通常、タキオンは認められていない」と書かれていることが多いですね。しかし、それは本当なのでしょうか？（存在したとしても不安定、などとかも聞いたことがありますが、もっと初等的な問題として。）

ローレンツ変換の式というのは、あくまでも、物理量が実数であって、平方根の中が負でない実数であることを前提としてますよね。従って、超光速が出てきて平方根の中が負の数の場合に、この式が形式的にそのまま当てはめられる理論的保障はあるのでしょうか？

光速度不変の原理は、慣性系で原点から光の球面波が発せられたとき、この球面波がc^2t^2=x^2+y^2+z^2 を満たす（原点を共有する慣性系で同じ形）と言うところから出発していますね。これはピタゴラスの定理から来てます。しかし、虚数質量とか虚数時間などを考えるとなると、「もしかしたら物理量は複素数かもしれない」という「仮の相対論」（物理量が実数のときは通常の相対論に一致する）を考える必要はないでしょうか？（光速度は実数だとしても）
ピタゴラスの定理の複素数版は基本的にエルミート内積を使うので、「~」を共役複素数を表すとして、光速度不変の式は（t,x,y,zが実数とは限らないとして） c^2tt~＝xx~+yy~+zz~ にならない保証はあるのでしょうか？

特殊相対論では（面倒なのでc=1の単位系を使うとして）、ｄｓ^2＝dt^2-dx^2-dy^2-dz^2 が不変量とされてますが、もしかしたら、複素数まで認める場合は不変量はエルミート積の考え方で ds(ds)~＝dt（dt)~－dx(dx)~－dy(dy)~－dz(dz)~ （別の書き方をすれば、|ds|^2＝|dt|^2－|x|^2－|y|^2ー|z|^2）かもしれないという不安があるので、本当に単なる2乗で大丈夫なのか？がお聞きしたいのです。

というのは、量子力学では本質的に複素数を使うと聞いたからです（私は「『ブラベクトル』『ケットベクトル』って何？？？」というレベルなｊのですが、とにかく、内積にはエルミート積を使ってますよね？）。状況によっては、量子力学と相対論を両方使わなければいけないことがあるはずですが、もしここで、虚数時間や虚数質量を使おうとした場合の虚数単位iの意味が相対論と量子論で別かもしれない不安がありまして・・・ええと、よく分からないが、量子論では、実数のかわりに自己共役作用素になるらしい、ということは、純虚数は反共役作用素になるのか？

もっとも、自分でこのやり方で相対性理論を見ると、不変量が |ds|^2＝|dt|^2－|x|^2－|y|^2ー|z|^2 に変わってしまうことになるので、若干意味が変わってしまうのがやばいとは気づいてます。
時間軸を虚数時間を使って cti 軸とするテクニックも使えなくなるわ、アインシュタインの略記法の意味も変わってしまうわ（↑を上付き添え字、↓を下付き添え字として、v↑μが反変ベクトル、w↓μが共変ベクトルのとき、v↑μw↓μ＝∑[μ=0・・・4]（v↑μ）~(w↓μ)となりそう）、などなど意味がどんどん変わってしまいます。計量ってのもよくわからないけれど（そもそもテンソルも分かってない）、意味が変わりそうです。
(ds)^2<0 となるdsは虚数を使えば存在し得ますが、|ds|^2<0 となるdsは複素数内でも存在しない。
従って、タキオンは因果律を持ち出さなくとも存在しない、めでたしめでたし・・・にはならないですね。
理論を変更するには多大な労力が必要ですが、苦労しても「今までできてたことができなくなった」というデメリットばかりなので、自分でも「これは駄目だわ」とは思うのですが。

それでも、理論的に、虚数時間などを使う場合に、ローレンツ変換のあの式がそのまま形式的に使えるかどうかの理論的根拠はあるのかどうか？が気になるので、あえて質問させていただきました。

回答No.2

shiara · ベストアンサー

いろいろ数式をいじくりまわしてみるもの楽しいかもしれませんが、ローレンツ変換式を光より速いものに適用してはいけません。ローレンツ変換式は、光より遅いものに適用することが前提となっているのです。
ローレンツ変換式は、相対性原理と光速度不変の原理から理論的に求めることができます。そこには一見、超光速の座標系を除外する条件はないように見えますが、暗黙のうちに、超光速条件を外していると考えられます。なぜなら、超光速で動くものがあれば、相対性原理は成り立たないだろうと思われるからです。もし相対性原理が成立つのであれば、超光速粒子から見れば、我々が超光速で動いていなければならないことになりますが、それはとても考えにくいものです。
仮に超光速粒子があるとしたら、ローレンツ変換とは違う式になると思われますので、ローレンツ変換式に超光速を持ちこむのは、全く意味のないことと考えます。
ところで、相対論的量子力学で出てくるディラック方程式では、四元ベクトルをスピノルを使って表わします。スピノルは、その成分が複素数になりますから、あなたにとって興味のあるものだと思います。

お礼

どうもありがとうございました。他の方の回答も大変参考になりました（うっかり、他の方たちの回答を理解したような補足を書いてしまいましたが、単に感覚的に受け取っているだけなんです）。

もう、答えをいただいたようなものですが、あまりに質問が変な形になってしまったので、初等的な形で再質問させていただきました。
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/7369231.html
現質問は、「たぶん、かなり最先端の部分で問題が出るのではないか？」と、まるっきり理解していないところまで含めて、あまりに無理して背伸びしてしまいましたが、もっと初等的なところで問題が出そうな感じがしてきたので、やりなおさせていただきました。
・・・まあ、（ＳＦでは大歓迎ですが、リアルでは）そう簡単にタキオンは出てこないですよね。

補足

＞ローレンツ変換式を光より速いものに適用してはいけません。
そういう答えを期待してました。
いろいろ、数式を弄り回していたら、啓蒙書ではタキオンなどの話が出てきて、ローレンツ変換を無思慮に超光速の場合でも使っているのを見て「これは、おかしいのではないか？この式が超光速でも通用する保障はどこにある？」という疑問がわいたのが、もともともの疑問の発端です。

＞暗黙のうちに、超光速条件を外していると考えられます
そこが気に入らないので、光速度不変の原理の複素数版からやりなおしてみたら、エルミート的なミンコフスキー内積に行き当たり、これで考えると、空間的なベクトルのノルムが定義できなくなる。従って「明示的に」超光速を否定できるのではないか？と考えました。・・・でも副作用が大きすぎて、これでは駄目だと思いますが。

＞ローレンツ変換とは違う式になると思われますので
違う式になると思います。

＞スピノル
そういうキーワードが欲しかったのです。私の実力で、そこまで勉強できるかどうかはわかりませんが、勉強の方向が分かるので助かりました。

超光速が出てこない話でも、虚数時間の話題はありますけれど、勉強が追いついて、もっと具体的に質問できるまでおあずけですね。

ほとんど、欲しい答えが出たようなものですが、何か追加の情報が得られるかもしれませんので、もうしばらく締め切りを延ばしてみます。

回答No.3

tondeel

私も勉強中ですべてを分かっていませんが、普通の教科書を見る限りでは、虚数時間は繰り込みの計算で出てくるくらいじゃないでしょうか。

それも（私が思うに）そんなに深い物理的意味があるわけではなく、複素平面上で軸を回転して実軸と虚軸を入れ替えると計算がしやすくなる程度のものみたいです。

例えば自己エネルギーを計算するとき、４次元複素空間で複素積分を実行しなければなりませんが、時間の空間で実と虚を入れ替えると（解析接続がうまくできて）、４次元球の積分に書き換えられるので計算が楽になります。

虚数質量は、自発的対称性の破れに出てくるポテンシャルの山の頂上に対応しているようですが、それは不安定なのでおそらくそのような状態は存在しないと考えるのではないでしょうか。

お礼

丁寧なご回答、ありがとうございました。
あ、うっかり、tondeel様の回答を理解しての補足のような描き方をしてしまいましたが、あくまで、私の実力では初等的な特殊相対論さえまだまだなので、「やはり相対論は本質的には実数の理論だよなあ」というような、感覚的理解です。どうも、申し訳ございません。とはいえ、「虚数時間というのは、そういうような意味合いで使われているのか」という感覚は少し出てきたので、大変参考になりました。

補足

私もたぶんそういうことではないか？という感じを抱いてはいます。
量子論では本質的に複素数が必要のようですが（全然分かってませんが）、相対論（まだ特殊の勉強途中ですが）だけでは、一種のテクニカルな意味で虚数を使うだけではないかと。
だから、相対論でも本質的に複素数が必要な状況がない限り、ここで質問したような内容は出来の悪いトンデモ理論に過ぎないだろう、と想像しています。

回答No.1

noname#175206

シュレディンガーの非相対論的な量子力学を、ディラックが特殊相対論を使って書き直した、相対論的量子力学を勉強すればいいと思いますよ。

お礼

どうも、ご回答ありがとうございます。
他の方々のご回答とも合わせてみて、やはり「複素ミンコフスキー空間」のような変なものを考える必要はまったくないのだ、という確信が得られましたので、この方向で少しずつ勉強していきたいと思います。

補足

ええと、回答者様は、私の実力をかなり過大評価されておられるようですが(^^;)。学生時代は完璧な落ちこぼれで。
特殊相対性理論さえまだよく分かってないのですけど(^^;。５０代半ばで勉強はじめましたので。60歳になる前に、一般と古典的な量子力学まで手を伸ばせればいいのですが。

とはいえ、それが王道ですね。図書館などでコツコツ勉強するのが結局早道でしょう。（できれば、EPRパラドックスの意味まで生きてるうちに分かるといいなあ。）

※　とはいえあくまで、この質問は、相対論での虚数の扱いの質問で、量子論に言及したのはこの二つがぶつかるときに、矛盾まではいかないにしても、奇妙な話が一番出やすそうだったからにすぎません。

相対論的量子力学を検索してみると、通常の対称双線形形式のミンコフスキー内積を使った相対性理論を量子力学的にしたもののようですね。

タキオンは置いておいても、ホーキング博士などの虚数時間（cti軸の意味とは違うらしいですが）とかが出ると、「スカラーに虚数を出すなら『複素ミンコフスキー空間』のようなものを考えるべきではないか？」という疑問なのです。

複素数を使っても、対称双線形形式のミンコフスキー内積でなんら理論的な矛盾は出ないはずだし、それでうまくいっているようなので、それが正解かなとは思うのですが。

共変ベクトルは、反変ベクトルの属するベクトル空間の双対空間のベクトルと考えると、複素ベクトル空間の双対空間というとエルミート内積が出てくるのではないか？と思いまして。

非常に乱暴な書き方ですが。反変ベクトルを、仮に量子論の記法を借りて|a>、|b> などとと書くとすると（あくまで、記法を借りただけで量子論とはまったく別の話です。当然、この場合は4次元ベクトルです）、ミンコフスキー計量をηとするときに、「複素ミンコフスキー内積」を対称双線形形式でなく、エルミート双線形形式の

<a|η|b>

とすることはあり得ないか？と考えただけです。
やってみると、いろいろ支障が出そうなので、あまり目はないと思いますが、念のため質問してみたわけです。（肝心の虚数時間がうまく扱えなくなりそうな気配がします。）

単なる思い付きの質問ですので、馬鹿げた話かな？とは思いますが。

取りあえず、相対論的量子論まで勉強が行き着けたら、そこで（因果律の話は棚に上げて）タキオンが出てきたらどうなるか？ あたりを考えると、もう少し、具体的な質問ができるかもしれません。