xとyから最大値を求める問題で先に進めません

質問

以下の問題を解いています。

[問]ある工場では製品Aを作るのにPを3kg、Qを2kg必要とし、製品Bを作るのにPを4kg、Qを1kg必要とする。P、Qは夫々200kg、100kgしか入手できない。
Aは1kgあたり30万円の利益、Bは1kgあたり20万円の利益だという。最大利益は幾らか? また、その時のA、Bは何kgできるか?

[解]
P 200kg の内、x kg をAへ(200-x)kgをBへ
Q 100kg 　〃、y kg をAへ(100-y)kg　〃　使うとすると

Aを作る時 xkg に対し、
〃 ykg に対し、

(i) 　　2x/y ≦ y　　　の時は P xkg をまるまる使えてAが　x/3kg　　できる。
(200-x)/4 ≦ 100-y 　〃　　P (200-x)kg 　　　〃 Bが(200-x)/4kg　〃

この時、x/3・30 万円の利益。
　〃 　(200-x)/4・20 〃

(ii) 2x/3>y の時はQ 　　ykg　　をまるまる使えて　Aがy/2kg　　できる。
　　(200-x)/4>100-y 　〃 　　(100-y)kg 　　　〃　　　　Bが(100-y)kg　　〃

この時、y/2・30 万円の利益。
(100-y)・20 〃

以上より、

(1)
2x/y≦y、(200-x)/4≦100-y の時の利益は x/3・30+(200-x)・20 (=:f(x,y)とおく)

(2)
2x/3≦y、(200-x)/4>100-y 〃 x/3・30+(100-y)・20 (=:f(x,y)とおく)

(3)
2x/3>y、(200-x)/4≦100-y 〃 y/2・30+(200-x)/4・20 (=:f(x,y)とおく)

(4)
2x/3>y、(200-x)/4>100-y 〃 x/3・30+(100-y)・20 (=:f(x,y)とおく)

…とここまで来たのですが
ここから先はどうやって最大値を求めればいいのでしょうか?

回答No.4

age_momo · ベストアンサー

x,yは次のように置いた方が式が立てやすいですよ。

Aを製造する個数をx,Bを製造する個数をyとすると

求める利益は　30x+20y

P<=200より

3x+4y<=200・・・(1)

Q<=100より

2x+y<=100・・・(2)

(1)×2＋(2)×12

利益=30x+20y<=1600

利益の最大は1600(万円)

最大値は等号が成立するところなので

x=40,y=20

お礼

有難うございます。

お陰さまで漸く解けました。

回答No.6

pyon1956

こういうのを「線形計画法」の問題といいます。
ここでは2変数の線形計画法で、たとえば次のURLのような手法を使います。
http://www.swa.gr.jp/lop/lop_ip01.html
3変数になるとたとえばこんな具合。http://www.sist.ac.jp/~suganuma/kougi/other_lecture/SE/opt/linear/linear.htm
一般的な理論になると数学より工学の問題になります。実際的に計算するのにコンピューターなしではしんどいからですが。
http://dsl4.eee.u-ryukyu.ac.jp/DOCS/lp/
他にもいろいろありますが、よろしければ「線形計画法」で検索されるとよいでしょう。

お礼

有難うございます。

お陰さまで漸く解けました。

回答No.5

mirage70

No3です。
第１象限の交点は、(0,50),(40,20),(50,0)となります。
此の値を代入して、Kの最大値を求めればよいです。
A、Bは何kgできるか?については、(0,50),(40,20),(50,0)の最大値になったものを書けば此が答えとなります。

お礼

有難うございます。

お陰さまで漸く解けました。

回答No.3

mirage70

複雑な式に持っていくようにしています。
製品Aを作るのにPを3kg、Qを2kg必要より、Aをx回
製品Bを作るのにPを4kg、Qを1kg必要より、Bをy回作る。
0<3x+4y<=200
0<2x+y<=100
この２つのグラフをかき、第１象限の交点を求めておく。
製品については、何も書いてないので1kgとします。
利益は、30x+20y=Kと置いて、グラフ内で、x,yが正数のところを求めれば、最大利益は出ます。

製品A,Bがakg,bKg作れるとすると、各1Kgに統一し、利益も此に統一すれば出ます。

お礼

有難うございます。

お陰さまで漸く解けました。

回答No.2

peror

PとQの仕入れ価格によっては、ＰあるいはＱが余っても、Ａだけ、ないし、Ｂだけ作っても、最大利益が出る可能性があります。

お礼

有難うございます。

お陰さまで漸く解けました。

回答No.1

taka451213

うーん・・・、
よくわからんが、とりあえず問題がおかしいと思う。

>>Aは1kgあたり30万円の利益、Bは1kgあたり20万円の利益
>>製品Aを作るのにPを3kg、Qを2kg必要とし、製品Bを作るのにPを4kg、Qを1kg必要とする。
Aを1kg作るのに、P、Qそれぞれいくらいるの？？？
「製品Aを1kg作るのに、Pを3kg、Qを2kg必要とし」なら、話がわかるが・・・。
これでは答えを出しようがない・・・。

kgを無視するなら、Aが40個、Bが20個で、P、Qそれぞれ丁度なくなるので、これが答えになるが・・・。

ゆえに、最大利益は不明、それぞれA、B何キロできるかも不明・・・。

お礼

有難うございます。

お陰さまで漸く解けました。

補足

「…場では製品Aを作るのにPを…」
↓
「…場では製品Aを1kg作るのにPを…」

でした。すいません。