最大値の問題

質問

p,qを正の定数とし、
正の実数x,yが
x^p+y^q=1を満たしながら変化するとき
z=xyの最大値が(p^q)*(q^p)/(p+q)^{(1/p)+(1/q)} と
なるらしいのですが、どのような方法で解くのでしょうか。

回答No.2

noname#108554

条件x^p+y^q=1が陰関数なのでLagrange未定乗数法が
定石ではないかと思います。

L=xy-λ(x^p+y^q-1)として、
∂L/∂x=0、∂L/∂y=0、∂L/∂λ=0、を連立すると
最大（または最小）の値を実現するような(x,y)の組が得られます。

補足

ありがとうございます。

これは高校数学で解かなければならない問題でした。

回答No.1

Mac_ury

ＺをＸかＹのみで表します。
その時に得られた関数Ｚについて微分を施し
関数の増減表を得、極値があることを発見し、それが
極大かつ最大であることがわかれば、その値を
関数Ｚに代入し、最大値が題意に与えられたものと
同等かどうかを調べるということが指針になります。

詳細は自分で解いてみた方がよくわかると思います。

お礼

解けました。

補足

ありがとうございます。

x^p+y^q=1 ・・・(1)
y=(1-x)^1/q
よりz=xy=x(1-x)^1/q （２）
z´=(1-x)^(1/q)-(p/q)(x^p)(1-x^p)^{(1/q)-1} ・・・(３)
条件と(1)より0<x<1 この範囲で(2)の増減表を書いてやろうと
すると、これからどうすればよいのかがわからないのです。

両端は値がありませんので最大値ではないですから
ｘが０と１の間にあるときと思いますが、
そこが極大値ならz´を０にするxの値で０と１の
間にあるものはどうやって求めるかを考えています。