容積を最大にするようなxとyの比～

質問

容積を最大にするようなxとyの比

a,b,x,yを正の実数とし、a,bは定数とする。
縦 横 高さがそれぞれax bx y のふたのない直方体の容器を考える
底面と側面の面積の合計が一定のとき、この容器の容積を最大にするような
xとyの比を求めよ。ただし容器の厚さは無視できるものとする

やり方がわからないので
（ラグランジュを使う？）
教えてください＞＜

回答No.4

staratras · ベストアンサー

題意の通りに計算して求めることが可能です。

底面と側面の面積の合計が一定なのでこれをkとします
k=axbx+2axy+2bxy=abx^2+2(a+b)xy
したがって
y=(k-abx^2)/2(a+b)x

直方体の体積Vは
V=axbxy=abx^2y=(abx^2)(k-abx^2)/2(a+b)x
V=(ab/2(a+b))(kx-abx^3)

これをf(x)とすると
f(x)=(ab/2(a+b))(kx-abx^3)　xで微分すると

f'(x)=(ab/2(a+b))(k-3abx^2)
f'(x)=0 より　x=±√(k/3ab) x,a,b,kは正の実数だから
f(x)はx=+√(k/3ab) のとき最大値f(+√(k/3ab))=(((a^2)(b^2))/(a+b))x^3 をとる

このとき　k=3abx^2=abx^2+2(a+b)xy　だから
2abx^2=2(a+b)xy　より　abx=(a+b)y
∴x:y=(a+b):ab

回答No.3

Tacosan

その解釈でいくなら, 相加相乗でいけます... というところだけは #1 に同意.

まあ, ひとひねり必要なので, 素直に (あるいは何も考えず) ラグランジュでもいいよ.

「やり方」は書いたので, あとは自分で頑張れ.

回答No.2

Tacosan

確認だけど, 「底面と側面の面積の合計」ってのは「底面と側面 4枚の面積の合計」の意味でいい?

補足

そうだと思います。

回答No.1

mister_moonlight

高校数学。相加平均・相乗平均で片付く。

題意から　abxy+axy+by＾2＝k＝一定とする。
体積＝abxy＾2＝Ｖとすると　相加平均・相乗平均から　k＝abxy+axy+by＾2≧3(3)√(abxy＾2)＾2
両辺を3乗すると　Ｖ＾2≦(ab*k＾3)/(27)
あとは等号成立条件だけ。それ位はできるだろう。それが求める答。abxy＝axy＝by＾2