関数の連続性

質問

次の問題の解答を教えていただけましたら幸いです。
手も足も出ない状態です。
よろしくお願いいたします。

（画像no.1）の関数が与えられている。

1.　この関数の連続性および微分可能性を検討せよ。
2.　微分可能であれば微分係数はいくらか。
3.　この関数は（0,1）の間に２つの0を有している。ニュートン法を用いてこのことを示せ。
4.　（画像no.2）を満たすこの関数の原始関数を求めよ。
5.　x>1のとき、関数（画像no.3）の微分係数を求めよ。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

1
教科書を見て連続性および微分可能性を復習し確認して下さい。

x>0で連続、
x=1では左側微分係数と右側微分係数とが
一致しないので微係数存在しない
x>0(x≠1)では微分可能

2
微分係数について教科書で確認して下さい。

0<x<1でf'(x)=6x(2ln(x)+1)
x>1で f'(x)=-(√2)(2x^2+1)/{x^2(x^2+1)√(x^2+1)}
x=1における左側微分係数(=1)と右側微分係数(=-3/2)とが
一致しないのでx=1で微分係数は存在しない。

3
ニュートン法を教科書で確認して下さい。

初期値xo=0.5としてニュートン法を適用すると　x≒0.46950925
初期値xo=0.75としてニュートン法を適用すると　x≒0.7337913

4
原始関数とは不定積分で任意定数CをC=0と置けば得られる。
部分積分すれば

2(x^3)log(x)-(2/3)x^3+x
が得られる。

5
積分の上限が下限より大きい。つまり
2x-1>1 (x>1)　とすれば

F'(x)=f(2x-1) (2x-1)' =2f(2x-1)
=2(√2)/{(2x-1)√((2x-1)^2+1)}
=2/{(2x-1)√(2x^2 -2x+1)}

となります。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/微分法

お礼

ありがとうございました。