同値であることは発見なのですか論理の必然的帰結なのですか。

質問

公式などでも右辺と左辺が等号で結合されることは発見の結果なのだろうと思うのですが、一方論理をきちんとすれば自然と出てくる結論のようなものもあると思います。関連して同値というのは同語反復とは違うわけですね。

回答No.2

fsfs · ベストアンサー

あまり自信はないですが、
通常の数学で、
Ａ＝Ｂといった場合は、集合Ａと集合Ｂが同じということを言っていて、それの定義は、

Ａ＝Ｂ⇔（ｘ∈Ａならばｘ∈Ｂ）かつ（ｘ∈Ｂならばｘ∈Ａ）

という意味です。

１）１＋１＝２の場合、
左辺は自然数の集合をＮとして、そこに、
＋：Ｎ×Ｎ→Ｎ
という写像が定義されていて、その写像の（１，１）の移った先を１＋１書いています。
右辺は２∈Ｎです。
（ここでは、１というのも集合であって、０＝空集合　、１＝｛空集合｝＝｛０｝、２＝｛１、０｝＝｛０、｛０｝｝という枠組みでいま説明しています。）この場合は２の定義が左辺なので、同語反復という感じがあると思います。
２）（ｘ＾２－１）/(x-1)＝ｘ＋１
これは例えば、実数係数の多項式全体をＲ[x]とおいて、その集合Ｒ[x]の元の間の等式と考えれば、１）と同様に左辺の演算の結果が右辺の集合になるという意味になりますが、実数上の関数の間の等式と考えると成り立ちません。（ｘ＝１で分母の関数は０になって割り算が定義できない）
１）、２）を同語反復と呼ぶかどうかはその人の感性なんじゃないでしょうか？

お礼

私のようなものには理解するということが再発見という感じにならないからかもしれません。なるべく勉強をしてみたいと思います。たびたびありがとうございました。

回答No.1

fsfs

数学的には同じことだと思います。
「証明された命題」は発見でもあるし、論理的な結論でもあると思います（証明の難しさが違うだけで）。
同語反復かどうかはその人がどういう事を同語反復と呼ぶかによるのではないでしょうか。数学ではあまり同語反復という言葉は使わない気がしますから。

お礼

ご教示ありがとうございます。右辺と左辺が同じものであるという場合、恒等式のようなものは、内容としては同語反復なのでしょうか。