高次方程式

質問

Ｘ＾3－27＝0の解は，
Ｘ＾3＝27
∴Ｘ＝＾3√27
Ｘ＝3（三重解）でいいんですかね？

回答No.3

koma1000nin · ベストアンサー

二次方程式で虚数iを学んでいるでしょう。
-3i^2(iは虚数単位)も解の一つです。
ずぼらな回答をしちゃいけません。
この問題の場合、直感的にx=3という解が浮かび上がりますが、それは解の一つに過ぎず、それが三重根とおっしゃるなら、その根拠を示すべきです。これが数学の厳密さです。そのおかげで我々は人工衛星を打ち上げ、太陽系の彼方まで探査ロケットを送り込んでいるのです。

さて、直感的にx=3は解の一つとわかりました。ならば因数定理によって、題意の多項式は

(x-3)(x^2+………）

に因数分解されます。
そして、左がわの括弧内の式から質問者さんのおっしゃる解のひとつ、x=3が導かれるわけで、右がわの括弧内の式からどのような解が導かれるのか、それは質問者さんの努力におまかせします。
具体的には、右がわの括弧内は多項式x＾3－27をx-3で除した商になります（一次下がって二次式になります）。
余りはゼロになりますからそのおつもりで。(^^;

回答No.2

pyon1956

三重解になるのは
(X-3)^3=0,
つまり
X^3-9X+27X-27=0
の場合です。
一般にAの立方根のひとつをｔとするとAの立方根は
t,tω,tω^2
（ただしω=(-1プラスマイナス√3i)/2,ω^2=(-1マイナスプラス√3i)/2 複号同順）の三つになります。

回答No.1

kony0

違います。３のほかに、虚数解が２つ出てきます。
まずはX^3-27=0の左辺を因数分解してみましょう。
そうすると、2次方程式が浮かび上がってきます。