高次方程式の解き方

質問

x^3 + 5x^2 +12x + 8 = 0
この方程式の解の求め方を教えて下さい。
答えは
x = -1 , -2+2j , -2-2jです。

x= -1は代入すればすぐ分かるのですが、虚数解の出し方が分かりません。
よろしくお願いします。

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

x^3 + 5x^2 +12x + 8 = 0　…(1)

>x= -1は代入すればすぐ分かるのですが、虚数解の出し方が分かりません。

因数定理より(1)の左辺は因数　(x+1)を持つことが判るので、左辺を因数分解して強制的に(x+1)をくくりだします。
そうすれば(x+1)を括り出した残りの２次の因数を=0とおいて２次方程式の解の公式から２つの虚数解が得られます。

(1)の左辺
=x^3 + 5x^2 +12x + 8
=x^2(x+1);-x^2+5x^2+12x+8
=x^2(x+1)+4x^2+12x+8
=x^2(x+1)+4x(x+1)-4x+12x+8
=x^2(x+1)+4x(x+1)+8x+8
= x^2(x+1)+4x(x+1)+8(x+1)
=(x+1)(x^2+4x+8)
=0

x+1=0より　x=-1 …(A)
または
x^2+4x+8=0、
2次方程式の解の公式より　x=-2±2 i …(B)

(A)と(B)をあわせたのが(1)の答であり、
虚数解の方は２次の因数=0から出てきます。

お礼

ありがとうございます！

回答No.2

sunflower-san

x = -1が一つの解になってることが分かるなら、
x^3 + 5x^2 +12x + 8 は (x + 1) で割り切れますね？
多項式の割り算の仕方は分かりますか？
結果を書くと、
x^3 + 5x^2 +12x + 8 = (x + 1)(x^2 + 4x + 8)
となります。よって他の解(虚数解)は x^2 + 4x + 8 の解ですから、２次方程式の解の公式で計算できます。

お礼

ありがとうございます。
思い出しました。