半球を螺旋の帯で近似した場合の螺旋の性状

質問

球面（半球）を細長い帯でらせん状に覆って、この帯を平面に展開した場合、数学的にはどのような螺旋になるのでしょうか。

回答No.4

koma1000nin · ベストアンサー

No.3のお礼に対する回答。
リンゴの皮でできる帯の中央を通る曲線は、球面上では隣り合う螺旋が等間隔になります。
球体の表面を、赤道を起点として周回しながら、角度θを保って極方向に向う螺旋を真上からみるとこんな風になるのでしょうね。
　　　↓
http://www.ke.ics.saitama-u.ac.jp/kondo/lect/artdesign/cg9.pdf

このPDFの4ページに「放物螺旋」としてモデルが掲載されています。
蚊取り線香のようにはいかないみたいです。(^^;

お礼

ご丁寧にご教示いただき感謝申し上げます。勉強させていただきます。

回答No.3

koma1000nin

No.1お礼に対する解答
仮に剥いた皮の幅がキッチリ等しくて平面になっているなら一様螺旋（別名アルキメデス螺旋）に近いでしょう。
子どものころ、剥いた皮を面白半分平面にのばしてみたことがありますが、隣の螺旋との間隔はほぼ隙間なく埋まった（埋めた）ように記憶しています。
意識的に隙間なく並べたようにも記憶しているのですが、鮮明には覚えていません。巻貝のような螺旋（ベルヌーイの螺旋）でないのは確かです。
こういう螺旋ができるはずのないことは、No2.さんのおっしゃるとおりです。何か、フィールズ賞を目指してのご研究でも？(^^;
極端な話ですが、幅をうんと狭くして線にちかくしたなら、螺旋の最大半径は球体の半径です。そして、内側に向って無限に撒きついていき、その面積はほぼ最大円周の面積に接近すると予想されます。しかし、この面積は半球の表面積でもありますから、ここに矛盾が生じます。
よってこういいう話はありえない。（笑）

お礼

どうもありがとうございました。一定の幅を持った帯で球面を覆った他場合、たとえば帯の中央を通るような螺旋を考えることは不可能でしょうか。又ある一点から出発して螺旋が半径にまで達すると直線になってしまうようですが・・・

回答No.2

proto

曲面が平面に展開出来るのは
曲面に沿う直線群が全て一点で交わる場合
(円錐の側面など)
曲面に沿う直線群が全て平行である場合
(円柱の側面など)
あと螺旋階段のような曲面も展開出来たと思いましたが忘れました

球面はどのように分割しても平面に展開することは出来ませんよ
地図なんかは全て近似的に平面に展開してあります

お礼

ご回答有難うございます。私なりに理解して近似という言葉を使ってみたのですが・・・

回答No.1

koma1000nin

リンゴの皮をむいてみればわかります。

お礼

ご回答有難うございます。数学的にはこのような螺旋はなんと呼ばれるものなのでしょうか。